如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4,4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0<t<4)$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PN}//x$ 轴，分别交 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $\mathit{AO}$ 的长为 　　， $\mathit{AB}$ 的长为 　　；

（2）当 $t=1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $\mathit{MN}$ 的长为 　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $\mathit{MN}$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $\mathit{\Delta AOE}$ 和 $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积分别表示为 $S_1$ 和 $S_2$ ，当 $t=\frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_1·S_2$ （即 $S_1$ 与 $S_2$ 的积）的最大值为 　　．