在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，直线$y=4x+4$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}-3a$经过点$A$，将点$B$向右平移5个单位长度，得到点$C$．

（1）求点$C$的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段$\mathit{BC}$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围．