一次函数$y=\mathit{kx}+4$与二次函数$y=a{x}^2+c$的图象的一个交点坐标为$(1,2)$，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

（1）求$k$，$a$，$c$的值；

（2）过点$A(0$，$m\left)\right(0<m<4)$且垂直于$y$轴的直线与二次函数$y=a{x}^2+c$的图象相交于$B$，$C$两点，点$O$为坐标原点，记$W=O{A}^2+B{C}^2$，求$W$关于$m$的函数解析式，并求$W$的最小值．