初中数学二次函数的性质计算题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$的顶点为 $E$，该抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{BO}=\mathit{OC}=3\mathit{AO}$，直线 $y=-\frac{1}{3}x+1$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明： $\mathit{\Delta DBO}\backsim \mathit{\Delta EBC}$；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 $P$点坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴交点分别为 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,2)$，作直线 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$为抛物线上第一象限内一动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，设点 $P$的横坐标为 $t(0<t<3)$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）条件同（2），若 $\mathit{\Delta ODP}$与 $\mathit{\Delta COB}$相似，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$与点 $C$关于 $x$轴对称．

（1）求点 $A$、 $B$、 $C$的坐标．

（2）求直线 $\mathit{BD}$的解析式．

（3）在直线 $\mathit{BD}$下方的抛物线上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBD}$的面积最大？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，且 $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，若抛物线经过 $O$， $A$两点，且顶点在 $\mathit{BC}$边上，对称轴交 $\mathit{BE}$于点 $F$，点 $D$， $E$的坐标分别为 $(3,0)$， $(0,1)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想 $\mathit{\Delta EDB}$的形状并加以证明；

（3）点 $M$在对称轴右侧的抛物线上，点 $N$在 $x$轴上，请问是否存在以点 $A$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1（注：与图2完全相同），二次函数 $y=\frac{4}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta ACD}$的面积（请在图1中探索）；

（3）若点 $P$， $Q$同时从 $A$点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $P$， $Q$运动到 $t$秒时， $\mathit{\Delta APQ}$沿 $\mathit{PQ}$所在的直线翻折，点 $A$恰好落在抛物线上 $E$点处，请直接判定此时四边形 $\mathit{APEQ}$的形状，并求出 $E$点坐标（请在图2中探索）．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $F$ ，点 $D(2,3)$ 在该抛物线上．

①求四边形 $\mathit{ACFD}$ 的面积；

②点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴交该抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{AQ}$ 、 $\mathit{DQ}$ ，当 $\mathit{\Delta AQD}$ 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 经过点 $A(1,0)$ 和点 $B(5,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线 $y=\frac{3}{5}x+3$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $P$ 是抛物线上的动点且位于 $x$ 轴下方，直线 $\mathit{PM}//y$ 轴，分别与 $x$ 轴和直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

①连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{PD}$ ，如图1，在点 $P$ 运动过程中， $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}\perp \mathit{PM}$ ，垂足为点 $Q$ ，如图2，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta CNQ}$ 与 $\mathit{\Delta PBM}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-6x+c$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$、 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-5)$，点 $P$是抛物线上的动点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$， $\mathit{PC}$与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点 $P$的坐标为 $(-2,3)$，请求出此时 $\mathit{\Delta APC}$的面积；

（3）过点 $P$作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点 $H$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $E$，如图2．

①若 $\angle \mathit{APE}=\angle \mathit{CPE}$，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}=\frac{3}{7}$；

② $\mathit{\Delta APE}$能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$ ， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $H$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上任意一点，过 $H$ 作直线 $\mathit{HN}\perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，求线段 $\mathit{PH}$ 的最大值；

（3）点 $M$ 是抛物线上任意一点，连接 $\mathit{CM}$ ，以 $\mathit{CM}$ 为边作正方形 $\mathit{CMEF}$ ，是否存在点 $M$ 使点 $E$ 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．