初中数学二次函数的性质计算题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-2,0)$，点 $B(4,0)$，点 $D(2,4)$，与 $y$轴交于点 $C$，作直线 $\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CD}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $E$是抛物线上的点，求满足 $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{ACO}$的点 $E$的坐标；

（3）点 $M$在 $y$轴上且位于点 $C$上方，点 $N$在直线 $\mathit{BC}$上，点 $P$为第一象限内抛物线上一点，若以点 $C$， $M$， $N$， $P$为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

如图1，抛物线 $y=-\frac{3}{5}[{(x-2)}^2+n]$与 $x$轴交于点 $A(m-2,0)$和 $B(2m+3,0)$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求 $m$、 $n$的值；

（2）如图2，点 $N$为抛物线上的一动点，且位于直线 $\mathit{BC}$上方，连接 $\mathit{CN}$、 $\mathit{BN}$．求 $\mathit{\Delta NBC}$面积的最大值；

（3）如图3，点 $M$、 $P$分别为线段 $\mathit{BC}$和线段 $\mathit{OB}$上的动点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PC}$，是否存在这样的点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCM}$为等腰三角形， $\mathit{\Delta PMB}$为直角三角形同时成立？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-2x+10$与 $x$轴， $y$轴相交于 $A$， $B$两点，点 $C$的坐标是 $(8,4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求过 $O$， $A$， $C$三点的抛物线的解析式，并判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动；同时，动点 $Q$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BC}$以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{PA}=\mathit{QA}$？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 $M$，使以 $A$， $B$， $M$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$， $B(9,0)$和 $C(0,4)$． $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直与 $x$轴，垂足为 $E$， $l$是抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移到其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分的图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分的图形面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $m:y=a{x}^2-6\mathit{ax}+c(a>0)$的顶点 $A$在 $x$轴上，并过点 $B(0,1)$，直线 $n:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$与 $x$轴交于点 $D$，与抛物线 $m$的对称轴 $l$交于点 $F$，过 $B$点的直线 $\mathit{BE}$与直线 $n$相交于点 $E(-7,7)$．

（1）求抛物线 $m$的解析式；

（2） $P$是 $l$上的一个动点，若以 $B$， $E$， $P$为顶点的三角形的周长最小，求点 $P$的坐标；

（3）抛物线 $m$上是否存在一动点 $Q$，使以线段 $\mathit{FQ}$为直径的圆恰好经过点 $D$？若存在，求点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+(a+3)x+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，在 $x$轴上有一动点 $E(m$， $0\left)\right(0<m<4)$，过点 $E$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{AB}$于点 $N$，交抛物线于点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$于点 $M$．

（1）求 $a$的值和直线 $\mathit{AB}$的函数表达式；

（2）设 $\mathit{\Delta PMN}$的周长为 $C_1$， $\mathit{\Delta AEN}$的周长为 $C_2$，若 $\frac{C_1}{C_2}=\frac{6}{5}$，求 $m$的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段 $\mathit{OE}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OE}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，连接 $E\text{'}A$、 $E\text{'}B$，求 $E\text{'}A+\frac{2}{3}E\text{'}B$的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$过 $B(-2,6)$， $C(2,2)$两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积；

（3）若直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移 $b$个单位所得的直线与抛物线段 $\mathit{BDC}$（包括端点 $B$、 $C)$部分有两个交点，求 $b$的取值范围．

在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{ABOC}$如图放置，点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(0,4)$、 $(-1,0)$，将此平行四边形绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到平行四边形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$．

（1）若抛物线经过点 $C$、 $A$、 $A\text{'}$，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$在何处时， $\mathit{\Delta AMA}\text{'}$的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$为抛物线上一动点， $N$为 $x$轴上的一动点，点 $Q$坐标为 $(1,0)$，当 $P$、 $N$、 $B$、 $Q$构成平行四边形时，求点 $P$的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$的坐标．

已知， $m$， $n$是一元二次方程 $x^2+4x+3=0$的两个实数根，且 $\left|m\right|<\left|n\right|$，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(m,0)$， $B(0,n)$，如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $C$，抛物线的顶点为 $D$，试求出点 $C$， $D$的坐标，并判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $M$，点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上，距离点 $P$为 $\sqrt{2}$个单位长度，设点 $P$的横坐标为 $t$， $\mathit{\Delta PMQ}$的面积为 $S$，求出 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图，已知抛物线 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}$与 $\mathit{x}$轴交于 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点，与 $\mathit{y}$轴交于点 $\mathit{C}$

（1）求点 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{C}$的坐标；

（2）点 $\mathit{E}$是此抛物线上的点，点 $\mathit{F}$是其对称轴上的点，求以 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{E}$， $\mathit{F}$为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 $\mathit{M}$，使得 $\mathit{\Delta ACM}$是等腰三角形？若存在，请求出点 $\mathit{M}$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2,0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $\mathit{BD}$ 垂直于直线 $y=-1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k=0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ，且抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $B$ 在 $C$ 的左侧， $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $\mathit{MN}$ 与直线 $y=-2\sqrt{3}x$ 平行，且 $M$ ， $N$ 位于直线 $\mathit{BC}$ 的两侧， $y_1>y_2$ ，解决以下问题：

①求证： $\mathit{BC}$ 平分 $\angle \mathit{MBN}$ ；

②求 $\mathit{\Delta MBC}$ 外心的纵坐标的取值范围．