如图1，抛物线yax2(a3)x3(a≠0)与x轴交于点A(

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更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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如图1，抛物线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，在 $x$ 轴上有一动点 $E (m$ ， $0) (0 < m < 4)$ ，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 于点 $M$ ．

（1）求 $a$ 的值和直线 $AB$ 的函数表达式；

（2）设 $ΔPMN$ 的周长为 $C_{1}$ ， $ΔAEN$ 的周长为 $C_{2}$ ，若 $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{6}{5}$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段 $OE$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得到 $OE'$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $E' A$ 、 $E' B$ ，求 $E' A + \frac{2}{3} E' B$ 的最小值．

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解方程．
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（2）

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在中，分别为所对的边，我们称关于的一元二次方程为“的☆方程”.根据规定解答下列问题：
（1）“的☆方程”的根的情况是（填序号）；①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根.
（2）如图，为⊙的直径，点为⊙上的一点，的平分线交⊙于点，
求“的☆方程”的解；

（3）若是“的☆方程”的一个根，其中均为正整数，且，求：①求的值；②求“的☆方程”的另一个根.