初中数学二次函数的性质试题

抛物线 $y=2{(x-3)}^2+4$顶点坐标是 $($　　 $)$

A． $(3,4)$B． $(-3,4)$C． $(3,-4)$D． $(2,4)$

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$如图所示，则下列6个代数式： $\mathit{ac}$， $\mathit{abc}$， $2a+b$， $a+b+c$， $4a-2b+c$， $b^2-4\mathit{ac}$，其中值大于0的个数为 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

已知抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{20}{x}^2+\mathit{bx}+5$．

（1）当自变量 $x⩾2$时，函数值 $y$随 $x$的增大而减少，求 $b$的取值范围；

（2）如图，若抛物线的图象经过点 $A(2,5)$，与 $x$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于 $B$．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ABC}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

若抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的开口向下，则 $a$的值可能是　　．（写一个即可）

已知函数 $y=-{(x-1)}^2$图象上两点 $A(2,y_1)$， $B(a,y_2)$，其中 $a>2$，则 $y_1$与 $y_2$的大小关系是 $y_1$　　 $y_2$（填“ $<$”、“ $>$”或“ $=$” $)$

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $A(2,0)$， $C(0,-4)$，直线 $l:y=-\frac{1}{2}x-4$与 $x$轴交于点 $D$，点 $P$是抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$上的一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $E$，交直线 $l$于点 $F$．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$在第三象限，四边形 $\mathit{PCOF}$是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp y$轴，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}$是直角三角形；

②试问当 $P$点横坐标为何值时，使得以点 $P$、 $C$、 $H$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似？

设 $a$、 $b$是任意两个实数，用 $\mathit{max}\{a$， $b\}$表示 $a$、 $b$两数中较大者，例如： $\mathit{max}\{-1$， $-1\}=-1$， $\mathit{max}\{1$， $2\}=2$， $\mathit{max}\{4$， $3\}=4$，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\mathit{max}\{5$， $2\}=$　　， $\mathit{max}\{0$， $3\}=$　　；

（2）若 $\mathit{max}\{3x+1$， $-x+1\}=-x+1$，求 $x$的取值范围；

（3）求函数 $y=x^2-2x-4$与 $y=-x+2$的图象的交点坐标，函数 $y=x^2-2x-4$的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y=-x+2$的图象，并根据图象直接写出 $\mathit{max}\{-x+2$， $x^2-2x-4\}$的最小值．

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$轴，且点 $(2,2)$， $(1,\frac{5}{4})$在抛物线上，点 $P$是抛物线上不与顶点 $N$重合的一动点，过 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于 $A$， $\mathit{PC}\perp y$轴于 $C$，延长 $\mathit{PC}$交抛物线于 $E$，设 $M$是 $O$关于抛物线顶点 $N$的对称点， $D$是 $C$点关于 $N$的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$的坐标；

（2）求证：四边形 $\mathit{PMDA}$是平行四边形；

（3）求证： $\mathit{\Delta DPE}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$时的点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$交抛物线的对称轴于点 $E$， $D$是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点 $C$和点 $D$的坐标；

（3）若点 $P$在第一象限内的抛物线上，且 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=4S_{\mathit{\Delta COE}}$，求 $P$点坐标．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-2$，与 $x$轴的一个交点在 $(-3,0)$和 $(-4,0)$之间，其部分图象如图所示．则下列结论：① $4a-b=0$；② $c<0$；③ $-3a+c>0$；④ $4a-2b>a{t}^2+\mathit{bt}(t$为实数）；⑤点 $(-\frac{9}{2}$， $y_1)$， $(-\frac{5}{2}$， $y_2)$， $(-\frac{1}{2}$， $y_3)$是该抛物线上的点，则 $y_1<y_2<y_3$，正确的个数有 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个

已知：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$图象上部分点的横坐标 $x$与纵坐标 $y$的对应值如表格所示，那么它的图象与 $x$轴的另一个交点坐标是　　．

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	0	3	4	3	$\dots$

已知二次函数 $y=-x^2+x+6$及一次函数 $y=-x+m$，将该二次函数在 $x$轴上方的图象沿 $x$轴翻折到 $x$轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 $y=-x+m$与新图象有4个交点时， $m$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $-\frac{25}{4}<m<3$B． $-\frac{25}{4}<m<2$C． $-2<m<3$D． $-6<m<-2$

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象如图所示，以下结论：① $\mathit{abc}>0$；② $4\mathit{ac}<b^2$；③ $2a+b>0$；④其顶点坐标为 $(\frac{1}{2}$， $-2)$；⑤当 $x<\frac{1}{2}$时， $y$随 $x$的增大而减小；⑥ $a+b+c>0$正确的有 $($　　 $)$

A．3个B．4个C．5个D．6个