初中数学二次函数的性质试题

某学习小组在研究函数 $y=\frac{1}{6}{x}^3-2x$的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

$x$	$\dots$	$-4$	$-3.5$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	3.5	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{7}{48}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{11}{6}$	0	$-\frac{11}{6}$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{3}{2}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{8}{3}$	$\dots$

（1）请补全函数图象；

（2）方程 $\frac{1}{6}{x}^3-2x=-2$实数根的个数为　     　；

（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

已知函数 $y=-x^2+(m-1)x+m(m$为常数）．

（1）该函数的图象与 $x$轴公共点的个数是　     　．

$A.0$      $B.1$       $C.2$       $D.1$或2

（2）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象的顶点都在函数 $y={(x+1)}^2$的图象上．

（3）当 $-2⩽m⩽3$时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$过 $A(-2,y_1)$、 $B(1,y_2)$两点，则下列关系式一定正确的是 $($　　 $)$

A． $y_1>0>y_2$B． $y_2>0>y_1$C． $y_1>y_2>0$D． $y_2>y_1>0$

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(4,0)$，顶点为 $B$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BO}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$是 $\mathit{BO}$的中点，点 $Q$在线段 $\mathit{AB}$上，设点 $B$关于直线 $\mathit{CQ}$的对称点为 $B^{\text{'}}$，当 $\mathit{\Delta OC}{B}^{\text{'}}$为等边三角形时，求 $\mathit{BQ}$的长度；

（3）若点 $D$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{OD}=2\mathit{DB}$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{\Delta OAB}$的边上，且满足 $\mathit{\Delta DOF}$与 $\mathit{\Delta DEF}$全等，求点 $E$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$自变量 $x$的部分取值和对应函数值 $y$如下表：

则在实数范围内能使得 $y-5>0$成立的 $x$取值范围是　              　．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	5	0	$-3$	$-4$	$-3$	0	$\dots$

$a$、 $b$、 $c$是实数，点 $A(a+1$、 $b)$、 $B(a+2,c)$在二次函数 $y=x^2-2\mathit{ax}+3$的图象上，则 $b$、 $c$的大小关系是 $b$　   　 $c$（用“ $>$”或“ $<$”号填空）

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．

二次函数 $y=x^2-2x-3$的图象如图所示，若线段 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，且 $\mathit{AB}$为 $2\sqrt{3}$个单位长度，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，使点 $C$落在该函数 $y$轴右侧的图象上，则点 $C$的坐标为　           　．

若二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$的图象经过点 $(-1,0)$，则方程 $a{x}^2-2\mathit{ax}+c=0$的解为 $($　　 $)$

A． $x_1=-3$， $x_2=-1$B． $x_1=1$， $x_2=3$C． $x_1=-1$， $x_2=3$D． $x_1=-3$， $x_2=1$

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $(-1,m^2+2m+1)$、 $(0,m^2+2m+2)$两点，其中 $m$为常数．

（1）求 $b$的值，并用含 $m$的代数式表示 $c$；

（2）若抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴有公共点，求 $m$的值；

（3）设 $(a,y_1)$、 $(a+2,y_2)$是抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的两点，请比较 $y_2-y_1$与0的大小，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过两点 $A(-1,1)$， $B(2,2)$．过点 $B$作 $\mathit{BC}//x$轴，交抛物线于点 $C$，交 $y$轴于点 $D$．

（1）求此抛物线对应的函数表达式及点 $C$的坐标；

（2）若抛物线上存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta BCM}$的面积为 $\frac{7}{2}$，求出点 $M$的坐标；

（3）连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta OBN}$相似（边 $\mathit{OA}$与边 $\mathit{OB}$对应）的点 $N$的坐标．

姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内， $y$值随 $x$值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是 $($　　 $)$

A． $y=3x$B． $y=\frac{3}{x}$C． $y=-\frac{1}{x}$D． $y=x^2$

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$、 $B$、 $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(0,8)$，点 $B$的坐标为 $(-4,0)$．

（1）求该二次函数的表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $D$的坐标为 $(0,4)$，点 $F$为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$，以 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$为邻边作平行四边形 $\mathit{CDEF}$，设平行四边形 $\mathit{CDEF}$的面积为 $S$．

①求 $S$的最大值；

②在点 $F$的运动过程中，当点 $E$落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 $S$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=x$与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$的图象相交于 $O$、 $A$两点，点 $A(3,3)$，点 $M$为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为 $2\sqrt{2}$的线段 $\mathit{PQ}$在线段 $\mathit{OA}$（不包括端点）上滑动，分别过点 $P$、 $Q$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P_1$、 $Q_1$，求四边形 $\mathit{PQ}{Q}_1{P}_1$面积的最大值；

（3）直线 $\mathit{OA}$上是否存在点 $E$，使得点 $E$关于直线 $\mathit{MA}$的对称点 $F$满足 $S_{\mathit{\Delta AOF}}=S_{\mathit{\Delta AOM}}$？若存在，求出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．