初中数学二次函数的性质试题

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $(-2,0)$，对称轴为直线 $x=1$．有以下结论：

① $\mathit{abc}>0$；

② $8a+c>0$；

③若 $A(x_1$， $m)$， $B(x_2$， $m)$是抛物线上的两点，当 $x=x_1+x_2$时， $y=c$；

④点 $M$， $N$是抛物线与 $x$轴的两个交点，若在 $x$轴下方的抛物线上存在一点 $P$，使得 $\mathit{PM}\perp \mathit{PN}$，则 $a$的取值范围为 $a⩾1$；

⑤若方程 $a(x+2)(4-x)=-2$的两根为 $x_1$， $x_2$，且 $x_1<x_2$，则 $-2⩽x_1<x_2<4$．

其中结论正确的有 $($　　 $)$

A．2个B．3个C．4个D．5个

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $(-1,0)$和 $(4,0)$，那么下列说法正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{ac}>0$B． $b^2-4\mathit{ac}<0$

C．对称轴是直线 $x=2.5$D． $b>0$

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<2a⩽b)$与 $x$轴最多有一个交点．以下四个结论：

① $\mathit{abc}>0$；

②该抛物线的对称轴在 $x=-1$的右侧；

③关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$无实数根；

④ $\frac{a+b+c}{b}⩾2$．

其中，正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象如图所示，现给出下列结论：① $\mathit{abc}<0$；② $c+2a>0$；③ $9a-3b+c=0$；④ $a-b⩽a{m}^2+\mathit{bm}(m$为实数）；⑤ $4\mathit{ac}-b^2<0$．其中正确结论的个数是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的 $y$与 $x$的部分对应值如表：

$x$	$-1$	0	2	4
$y$	$-1$	2	2	$-6$

下列结论错误的是 $($　　 $)$

A．该函数有最大值

B．该函数图象的对称轴为直线 $x=1$

C．当 $x>2$时，函数值 $y$随 $x$增大而减小

D．方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$有一个根大于3

已知，点 $A(-4,y_1)$， $B(\frac{1}{2}$， $y_2)$在二次函数 $y=-x^2+2x+c$的图象上，则 $y_1$与 $y_2$的大小关系为　　．

在同一直角坐标系中，二次函数 $y=x^2$与反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 $A(x_1$， $m)$， $B(x_2$， $m)$， $C(x_3$， $m)$，其中 $m$为常数，令 $\omega =x_1+x_2+x_3$，则 $\omega$的值为 $($　　 $)$

A．1B． $m$C． $m^2$D． $\frac{1}{m}$

抛物线 $y=3{(x-2)}^2+5$的顶点坐标是 $($　　 $)$

A． $(-2,5)$B． $(-2,-5)$C． $(2,5)$D． $(2,-5)$

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象如图所示，则下列说法正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{ac}<0$B． $b<0$C． $b^2-4\mathit{ac}<0$D． $a+b+c<0$

如图，已知直线 $y=-2x+4$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$、 $B$，抛物线过 $A$， $B$两点，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交抛物线于点 $D$．

（1）若抛物线的解析式为 $y=-2x^2+2x+4$，设其顶点为 $M$，其对称轴交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

①求点 $M$、 $N$的坐标；

②是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{MNPD}$为菱形？并说明理由；

（2）当点 $P$的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以 $B$、 $P$、 $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOB}$相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $P$是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$， $l$与 $x$轴的交点为 $D$．在直线 $l$上是否存在点 $M$，使得四边形 $\mathit{CDPM}$是平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$．

①求 $S$关于 $t$的函数表达式；

②求 $P$点到直线 $\mathit{BC}$的距离的最大值，并求出此时点 $P$的坐标．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

如图示二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴在 $y$轴的右侧，其图象与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$与点 $C(x_2$， $0)$，且与 $y$轴交于点 $B(0,-2)$，小强得到以下结论：① $0<a<2$；② $-1<b<0$；③ $c=-1$；④当 $\left|a\right|=\left|b\right|$时 $x_2>\sqrt{5}-1$；以上结论中正确结论的序号为　　．

若三个非零实数 $x$， $y$， $z$满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$， $y$， $z$构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M(t,y_1)$， $N(t+1,y_2)$， $R(t+3,y_3)$三点均在函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象上，且这三点的纵坐标 $y_1$， $y_2$， $y_3$构成“和谐三组数”，求实数 $t$的值；

（3）若直线 $y=2\mathit{bx}+2c(\mathit{bc}\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$，与抛物线 $y=a{x}^2+3\mathit{bx}+3c(a\ne 0)$交于 $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$两点．

①求证： $A$， $B$， $C$三点的横坐标 $x_1$， $x_2$， $x_3$构成“和谐三组数”；

②若 $a>2b>3c$， $x_2=1$，求点 $P(\frac{c}{a}$， $\frac{b}{a})$与原点 $O$的距离 $\mathit{OP}$的取值范围．