初中数学二次函数的性质试题

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m<0)$与 $y=x^2-4$在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数 $m$的取值范围为　　．

函数 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+m(a<0)$的图象过点 $(2,0)$，则使函数值 $y<0$成立的 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x<-4$或 $x>2$B． $-4<x<2$

C． $x<0$或 $x>2$D． $0<x<2$

给出下列函数：① $y=-3x+2$；② $y=\frac{3}{x}$；③ $y=2x^2$；④ $y=3x$，上述函数中符合条件“当 $x>1$时，函数值 $y$随自变量 $x$增大而增大“的是 $($　　 $)$

A．①③B．③④C．②④D．②③

如图，若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的对称轴为 $x=1$，与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于点 $A$、点 $B(-1,0)$，则

①二次函数的最大值为 $a+b+c$；

② $a-b+c<0$；

③ $b^2-4\mathit{ac}<0$；

④当 $y>0$时， $-1<x<3$．其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

已知函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-1(a$是常数， $a\ne 0)$，下列结论正确的是 $($　　 $)$

A．当 $a=1$时，函数图象经过点 $(-1,1)$

B．当 $a=-2$时，函数图象与 $x$轴没有交点

C．若 $a<0$，函数图象的顶点始终在 $x$轴的下方

D．若 $a>0$，则当 $x⩾1$时， $y$随 $x$的增大而增大

如图，是将抛物线 $y=-x^2$平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x=1$，与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$，另一个交点为 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$为抛物线上一点，且 $\mathit{BC}\perp \mathit{NC}$，求点 $N$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上一点，点 $Q$是一次函数 $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形 $\mathit{OAPQ}$为平行四边形，这样的点 $P$、 $Q$是否存在？若存在，分别求出点 $P$、 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的 $y$与 $x$的部分对应值如下表：

$x$	$-1$	0	1	3
$y$	$-3$	1	3	1

下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 $x=1$；③当 $x<1$时，函数值 $y$随 $x$的增大而增大；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$有一个根大于4．其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

下列函数中，对于任意实数 $x_1$， $x_2$，当 $x_1>x_2$时，满足 $y_1<y_2$的是 $($　　 $)$

A． $y=-3x+2$B． $y=2x+1$

C． $y=2x^2+1$D． $y=-\frac{1}{x}$

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+2x-3$的图象如图所示，点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$是该二次函数图象上的两点，其中 $-3⩽x_1<x_2⩽0$，则下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $y_1<y_2$B． $y_1>y_2$

C． $y$的最小值是 $-3$D． $y$的最小值是 $-4$

将抛物线 $y=2x^2-4x+c$向左平移2个单位长度得到的抛物线经过三点 $(-4,y_1)$， $(-2,y_2)$， $(\frac{1}{2}$， $y_3)$，则 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $y_2>y_3>y_1$B． $y_1>y_2>y_3$

C． $y_2>y_1>y_3$D． $y_1>y_3>y_2$

如图，抛物线 $y=x^2-3x+\frac{5}{4}$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一点，过点 $D$作 $y$轴的平行线，与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）当线段 $\mathit{DE}$的长度最大时，求点 $D$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$，顶点坐标 $(1,n)$，与 $y$轴的交点在 $(0,3)$， $(0,4)$之间（包含端点），则下列结论：① $\mathit{abc}>0$；② $3a+b<0$；③ $-\frac{4}{3}⩽a⩽-1$；④ $a+b⩾a{m}^2+\mathit{bm}(m$为任意实数）；⑤一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=n$有两个不相等的实数根，其中正确的有 $($　　 $)$

A．2个B．3个C．4个D．5个

已知，点 $M$是二次函数 $y=a{x}^2(a>0)$图象上的一点，点 $F$的坐标为 $(0,\frac{1}{4a})$，直角坐标系中的坐标原点 $O$与点 $M$， $F$在同一个圆上，圆心 $Q$的纵坐标为 $\frac{1}{8}$．

（1）求 $a$的值；

（2）当 $O$， $Q$， $M$三点在同一条直线上时，求点 $M$和点 $Q$的坐标；

（3）当点 $M$在第一象限时，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴，垂足为点 $N$，求证： $\mathit{MF}=\mathit{MN}+\mathit{OF}$．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点坐标为 $(2,9)$，与 $y$轴交于点 $A(0,5)$，与 $x$轴交于点 $E$、 $B$．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AC}$平行于 $x$轴，交抛物线于点 $C$，点 $P$为抛物线上的一点（点 $P$在 $\mathit{AC}$上方），作 $\mathit{PD}$平行于 $y$轴交 $\mathit{AB}$于点 $D$，问当点 $P$在何位置时，四边形 $\mathit{APCD}$的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点 $M$在抛物线上，点 $N$在其对称轴上，使得以 $A$、 $E$、 $N$、 $M$为顶点的四边形是平行四边形，且 $\mathit{AE}$为其一边，求点 $M$、 $N$的坐标．