初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的顶点坐标是 $（-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}）$

如图，对称轴为直线 x＝2的抛物线 y＝ x ²+ bx+ c与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A的坐标为（﹣1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出 B、 C两点的坐标；

（3）求过 O， B， C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

注：二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的顶点坐标为（ $-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}$ ）

如图，抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的对称轴为直线 x＝1，与 x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4 ac＜ b ²；

②方程 ax ²+ bx+ c＝0的两个根是 x ₁＝﹣1， x ₂＝3；

③3 a+ c＞0

④当 y＞0时， x的取值范围是﹣1≤ x＜3

⑤当 x＜0时， y随 x增大而增大

其中结论正确的个数是（　　）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

直线 y＝ kx+ b与抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 交于 A（ x ₁， y ₁）、 B（ x ₂， y ₂）两点，当 OA⊥ OB时，直线 AB恒过一个定点，该定点坐标为 　　．

如图是抛物线 $y_1＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线 $y_2＝\mathit{mx}+n（m\ne 0）$与抛物线交于A，B两点，下列结论：

① $\mathit{abc}＞0$；②方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c＝3$有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当 $1＜x＜4$时，有 $y_2＞y_1$；⑤ $x（\mathit{ax}+b）\le a+b$，其中正确的结论是　　．（只填写序号）

如图，若抛物线y＝ax²+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为　　．

如图抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），且 OB＝ OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 D、 E在直线 x＝1上的两个动点，且 DE＝1，点 D在点 E的上方，求四边形 ACDE的周长的最小值．

（3）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP把四边形 CBPA的面积分为3：5两部分，求点 P的坐标．

如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y＝ ax ²+ b（ a≠0）与 x轴交于 A， B两点，直线 y＝ x+ m过顶点 C和点 B．

（1）求 m的值；

（2）求函数 y＝ ax ²+ b（ a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点 M，使得∠ MCB＝15°？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 y＝ x ²+ mx﹣2 m﹣4（ m＞0）．

（1）证明：该抛物线与 x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与 x轴的两个交点分别为 A， B（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C， A， B， C三点都在⊙ P上．

①试判断：不论 m取任何正数，⊙ P是否经过 y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点 C关于直线 x＝﹣ $\frac{m}{2}$ 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE， BD， DE，△ BDE的周长记为 l，⊙ P的半径记为 r，求 $\frac{1}{r}$ 的值．

已知二次函数 y＝ x ²，当 x＞0时， y随 x的增大而 　　（填"增大"或"减小"）．

已知二次函数 y＝ ax ²﹣ bx+ c且 a＝ b，若一次函数 y＝ kx+4与二次函数的图象交于点 A（2，0）．

（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与 x轴交点坐标；

（2）当 a＞ c时，求证：直线 y＝ kx+4与抛物线 y＝ ax ²﹣ bx+ c一定还有另一个异于点 A的交点；

（3）当 c＜ a≤ c+3时，求出直线 y＝ kx+4与抛物线 y＝ ax ²﹣ bx+ c的另一个交点 B的坐标；记抛物线顶点为 M，抛物线对称轴与直线 y＝ kx+4的交点为 N，设 S＝ $\frac{25}{9}$ S _{△ AMN}﹣ S _{△ BMN}，写出 S关于 a的函数，并判断 S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

如图，直线 y＝﹣ x+3与 x轴、 y轴分别交于 B、 C两点，抛物线 y＝﹣ x ²+ bx+ c经过点 B、 C，与 x轴另一交点为 A，顶点为 D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 x轴上找一点 E，使 EC+ ED的值最小，求 EC+ ED的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得∠ APB＝∠ OCB？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由．

若满足 $\frac{1}{2}$ ＜ x≤1的任意实数 x，都能使不等式2 x ³﹣ x ²﹣ mx＞2成立，则实数 m的取值范围是（　　）

A．

m＜﹣1

B．

m≥﹣5

C．

m＜﹣4

D．

m≤﹣4

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4}{x}^2$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _{△ DBC}＝ S _{△ ABC}，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

已知抛物线 y＝ a（ x﹣1） ²﹣3（ a≠0），如图所示，下列命题：① a＞0；②对称轴为直线 x＝1；③抛物线经过（2， y ₁），（4， y ₂）两点，则 y ₁＞ y ₂；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）

A．

$\frac{1}{4}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{3}{4}$

D．

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