初中数学二次函数的性质试题

已知，抛物线经过点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标：　　．

（3）如图2，直线经过点，且平行与轴，若点为抛物线上任意一点（原点除外），直线交于点，过点作，交抛物线于点，求证：直线一定经过点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ．

（1）求抛物线 的解析式；

（2）当点 是线段 的中点时，求点 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 的值．

如图所示，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x＝﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD＝MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：

①a﹣b＝0；  

②当﹣2＜x＜1时，y＞0；

③四边形ACBD是菱形；   

④9a﹣3b+c＞0

你认为其中正确的是（　　）

A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③

已知函数y＝﹣x²﹣2x，当　　时，函数值y随x的增大而增大．

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S_△ABE＝S_△ABC时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{12}{x}^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　）

A．（4，3）B．（5， $\frac{35}{12}$）C．（4， $\frac{35}{12}$）D．（5，3）

抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2$，y＝x²，y＝﹣x²的共同性质是：

①都是开口向上；

②都以点（0，0）为顶点；

③都以y轴为对称轴；

④都关于x轴对称．

其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，在直角坐标系中，直线 y＝ kx+1（ k≠0）与双曲线 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 相交于点 P（1， m）．

（1）求 k的值；

（2）若点 Q与点 P关于直线 y＝ x成轴对称，则点 Q的坐标是 Q（ 　　）；

（3）若过 P、 Q二点的抛物线与 y轴的交点为 $N\left(0,\frac{5}{3}\right)$ ，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

对于二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+x-4$ ，下列说法正确的是（　　）

A．	当x＞0时，y随x的增大而增大	B．	当x＝2时，y有最大值﹣3
C．	图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）	D．	图象与x轴有两个交点

关于二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2-6x+a+27$ ，下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

A．	若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点 $(4,5)$ ，则 $a=-5$
B．	当 $x=12$ 时， $y$ 有最小值 $a-9$
C．	$x=2$ 对应的函数值比最小值大7
D．	当 $a<0$ 时，图象与 $x$ 轴有两个不同的交点

已知二次函数 $y=(a-2)x^2-(a+2)x+1$ ，当 $x$ 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 $y$ 总相等，则关于 $x$ 的一元二次方程 $(a-2)x^2-(a+2)x+1=0$ 的两根之积为 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

$-1$

C．

$-\frac{1}{2}$

D．

$-\frac{1}{4}$

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle B=60°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．动点 $P$ 从点 $B$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}\to \mathit{AC}$ 运动到点 $C$ ，同时动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以相同速度沿折线 $\mathit{AC}\to \mathit{CD}$ 运动到点 $D$ ，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设 $\mathit{\Delta APQ}$ 的面积为 $y$ ，运动时间为 $x$ 秒．则下列图象能大致反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象的对称轴是直线 $x=1$ ，则以下四个结论中：① $\mathit{abc}>0$ ，② $2a+b=0$ ，③ $4a+b^2<4\mathit{ac}$ ，④ $3a+c<0$ ．正确的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4,4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0<t<4)$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PN}//x$ 轴，分别交 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $\mathit{AO}$ 的长为 　　， $\mathit{AB}$ 的长为 　　；

（2）当 $t=1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $\mathit{MN}$ 的长为 　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $\mathit{MN}$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $\mathit{\Delta AOE}$ 和 $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积分别表示为 $S_1$ 和 $S_2$ ，当 $t=\frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_1·S_2$ （即 $S_1$ 与 $S_2$ 的积）的最大值为 　　．