初中数学反比例函数综合题试题

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

如图，在平面直角坐标系中，函数 $y=\mathit{kx}$与 $y=-\frac{2}{x}$的图象交于 $A$， $B$两点，过 $A$作 $y$轴的垂线，交函数 $y=\frac{4}{x}$的图象于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $($　　 $)$

A．2B．4C．6D．8

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点分别在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$与 $y=\frac{n}{x}(x>0,0<m<n)$的图象上，对角线 $\mathit{BD}//y$轴，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $P$．已知点 $B$的横坐标为4．

（1）当 $m=4$， $n=20$时．

①若点 $P$的纵坐标为2，求直线 $\mathit{AB}$的函数表达式．

②若点 $P$是 $\mathit{BD}$的中点，试判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

（2）四边形 $\mathit{ABCD}$能否成为正方形？若能，求此时 $m$， $n$之间的数量关系；若不能，试说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，顶点 $A$在第一象限， $B$， $C$在 $x$轴的正半轴上 $(C$在 $B$的右侧）， $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{AC}$所在的直线对称．

（1）当 $\mathit{OB}=2$时，求点 $D$的坐标；

（2）若点 $A$和点 $D$在同一个反比例函数的图象上，求 $\mathit{OB}$的长；

（3）如图2，将（2）中的四边形 $\mathit{ABCD}$向右平移，记平移后的四边形为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，过点 $D_1$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $P$．问：在平移过程中，是否存在这样的 $k$，使得以点 $P$， $A_1$， $D$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $k$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知直线 $l:y=-x$，双曲线 $y=\frac{1}{x}$，在 $l$上取一点 $A(a$， $-a\left)\right(a>0)$，过 $A$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $B$，过 $B$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $C$，过 $C$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $D$，过 $D$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $E$，此时 $E$与 $A$重合，并得到一个正方形 $\mathit{ABCD}$，若原点 $O$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线上且分这条对角线为 $1:2$的两条线段，则 $a$的值为　　．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象交于点 $A(-4,m)$，且与 $y$轴交于点 $B$，第一象限内点 $C$在反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象上，且以点 $C$为圆心的圆与 $x$轴， $y$轴分别相切于点 $D$， $B$

（1）求 $m$的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当 $y_1<y_2<0$时，写出 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $A$点的坐标为 $(a,6)$， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\cos \angle \mathit{OAB}==\frac{3}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的一支分别交 $\mathit{AO}$、 $\mathit{AB}$于点 $C$、 $D$．延长 $\mathit{AO}$交反比例函数的图象的另一支于点 $E$．已知点 $D$的纵坐标为 $\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 $\mathit{EB}$的解析式；

（3）求 $S_{\mathit{\Delta OEB}}$．

如图，菱形 $\mathit{OABC}$的一边 $\mathit{OA}$在 $x$轴的负半轴上， $O$是坐标原点， $A$点坐标为 $(-10,0)$，对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{OB}$相交于点 $D$且 $\mathit{AC}·\mathit{OB}=160$．若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象经过点 $D$，并与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $E$，则 $S_{\mathit{\Delta OCE}}:S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　　．

如图，曲线 $C_2$是双曲线 $C_1:y=\frac{6}{x}(x>0)$绕原点 $O$逆时针旋转 $45°$得到的图形， $P$是曲线 $C_2$上任意一点，点 $A$在直线 $l:y=x$上，且 $\mathit{PA}=\mathit{PO}$，则 $\mathit{\Delta POA}$的面积等于 $($　　 $)$

A． $\sqrt{6}$B．6C．3D．12

矩形 $\mathit{AOBC}$中， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OA}=3$．分别以 $\mathit{OB}$， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴， $y$轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$是 $\mathit{BC}$边上一个动点（不与 $B$， $C$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与边 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）当点 $F$运动到边 $\mathit{BC}$的中点时，求点 $E$的坐标；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{EFC}$的正切值；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta CEF}$沿 $\mathit{EF}$折叠，点 $C$恰好落在边 $\mathit{OB}$上的点 $G$处，求此时反比例函数的解析式．

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，点 $A(0,4)$，点 $B(3,0)$，双曲线 $y=\frac{k}{x}$与直线 $\mathit{BD}$交于点 $D$、点 $E$．

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

（3）求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OADB}$的顶点 $A$， $B$的坐标分别为 $A(-6,0)$， $B(0,4)$．过点 $C(-6,1)$的双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与矩形 $\mathit{OADB}$的边 $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）填空： $\mathit{OA}=$　       　， $k=$　      　，点 $E$的坐标为　       　；

（2）当 $1⩽t⩽6$时，经过点 $M(t-1,-\frac{1}{2}{t}^2+5t-\frac{3}{2})$与点 $N(-t-3,-\frac{1}{2}{t}^2+3t-\frac{7}{2})$的直线交 $y$轴于点 $F$，点 $P$是过 $M$， $N$两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点．

①当点 $P$在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上时，求证：直线 $\mathit{MN}$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$没有公共点；

②当抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与矩形 $\mathit{OADB}$有且只有三个公共点，求 $t$的值；

③当点 $F$和点 $P$随着 $t$的变化同时向上运动时，求 $t$的取值范围，并求在运动过程中直线 $\mathit{MN}$在四边形 $\mathit{OAEB}$中扫过的面积．

已知点 $A(a,m)$在双曲线 $y=\frac{8}{x}$上且 $m<0$，过点 $A$作 $x$轴的垂线，垂足为 $B$．

（1）如图1，当 $a=-2$时， $P(t,0)$是 $x$轴上的动点，将点 $B$绕点 $P$顺时针旋转 $90°$至点 $C$．

①若 $t=1$，直接写出点 $C$的坐标；

②若双曲线 $y=\frac{8}{x}$经过点 $C$，求 $t$的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线 $y=\frac{8}{x}(x>0)$沿 $y$轴折叠得到双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$，将线段 $\mathit{OA}$绕点 $O$旋转，点 $A$刚好落在双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$上的点 $D(d,n)$处，求 $m$和 $n$的数量关系．

探究函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$与 $y=x+\frac{a}{x}(x>0,a>0)$的相关性质．

（1）小聪同学对函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　     　，它的另一条性质为　            　；

$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{13}{6}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{29}{10}$	$\frac{10}{3}$	$\dots$

（2）请用配方法求函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值；

（3）猜想函数 $y=x+\frac{a}{x}(x>0,a>0)$的最小值为　     　．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$过点 $A(3,4)$，直线 $\mathit{AC}$与 $x$轴交于点 $C(6,0)$，过点 $C$作 $x$轴的垂线 $\mathit{BC}$交反比例函数图象于点 $B$．

（1）求 $k$的值与 $B$点的坐标；

（2）在平面内有点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 $D$点的坐标．