如图，已知直线 $l:y=-x$，双曲线 $y=\frac{1}{x}$，在 $l$上取一点 $A(a$， $-a\left)\right(a>0)$，过 $A$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $B$，过 $B$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $C$，过 $C$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $D$，过 $D$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $E$，此时 $E$与 $A$重合，并得到一个正方形 $\mathit{ABCD}$，若原点 $O$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线上且分这条对角线为 $1:2$的两条线段，则 $a$的值为　　．