高中数学试题

$i$是虚数单位，则 $\left|\frac{5-i}{1+i}\right|$的值为_____________．

已知 $a\in R$ ，设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x}^2-2\mathit{ax}+2a,& x\le 1,\\ x-a\ln x,& x>1.\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的不等式 $f\left(x\right)\ge 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为（ ）

A．

$\left[0,1\right]$

B．

$\left[0,2\right]$

C．

$\left[0,e\right]$

D．

$\left[1,e\right]$

已知函数 $f\left(x\right)=A\mathit{sin}(\mathit{\omega x}+\phi \left)\right(A>0,\omega >0,\left|\phi \right|<\pi )$ 是奇函数，将 $y=f\left(x\right)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g\left(x\right)$ ．若 $g\left(x\right)$ 的最小正周期为 $2\text{π}$ ，且 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=$ （ ）

A．

$-2$

B．

$-\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{2}$

D．

$2$

已知 $a={\log }_{5}2$ ， $b={\log }_{0.5}0.2$ ， $c={0.5}^{0.2}$ ，则 $a,b,c$ 的大小关系为（ ）

A．

$a<c<b$

B．

$a<b<c$

C．

$b<c<a$

D．

$c<a<b$

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 $\left|\mathit{AB}\right|=4\left|\mathit{OF}\right|$ （ 为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$2$

D．

$\sqrt{5}$

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$ 的值为（ ）

A．

5

B．

8

C．

24

D．

29

设 $x\in R$ ，则" $x^2-5x<0$ "是" $|x-1|<1$ "的（ ）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y-2\le 0\\ x-y+2\ge 0\\ x\ge -1\\ y\ge -1\end{array}\right.$ ，则目标函数 $z=-4x+y$ 的最大值为（ ）

A．

2

B．

3

C．

5

D．

6

设集合 $A=\{-1,1,2,3,5\},B=\{2,3,4\},C=\{x\in \mathit{R}|1\le x<3\}$ ，则 $(A\cap C)\cup B=$ （ ）

A．

$\left\{2\right\}$

B．

$\left\{2,3\right\}$

C．

$\left\{-1,2,3\right\}$

D．

$\left\{1,2,3,4\right\}$

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x\in [-2,4]$ 时，求证： $x-6\le f\left(x\right)\le x$ ；

（Ⅲ）设 $F\left(x\right)=\left|f\right(x)-(x+a\left)\right|(a\in R)$ ，记 $F\left(x\right)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M\left(a\right)$ ，当 $M\left(a\right)$ 最小时，求 $a$ 的值．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设 O为原点，直线 $l:y=\mathit{kx}+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 C交于两个不同点 P， Q，直线 $\mathit{AP}$ 与 x轴交于点 M，直线 $\mathit{AQ}$ 与 x轴交于点 N，若 $\left|\mathit{OM}\right|·\left|\mathit{ON}\right|=2$ ，求证：直线 l经过定点．

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{PA}\perp \mathrm{平面}ABCD$ ，底部 ABCD为菱形， E为 CD的中点．

（Ⅰ）求证： $\mathit{BD}\perp \mathrm{平面}PAC$ ；

（Ⅱ）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，求证： $\mathit{平面}\mathit{PAB}\perp \mathit{平面}\mathit{PAE}$ ；

（Ⅲ）棱 PB上是否存在点 F，使得 $\mathit{CF}\parallel \mathit{平面}\mathit{PAE}$ ？说明理由．

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额 支付方式	不大于 $2000$ 元	大于 $2000$ 元
仅使用A	27人	3人
仅使用B	24人	1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于 $2000$ 元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于 $2000$ 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．

设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列， $a_1=–10$ ，且 $a_2+10$ ， $a_3+8$ ， $a_4+6$ 成等比数列．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n项和为 $S_n$ ，求 $S_n$ 的最小值．

在 $△ABC$中， $a=3$ ， $\mathit{b–c}=2$ ， $\mathit{cosB}=-\frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求 b， c的值；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}（B+C）$ 的值．