高中数学试题

[选修4-5：不等式选讲]已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{│x}+1\mathit{│–│x–}2│$ .

（1）求不等式 $f\left(x\right)\ge 1$ 的解集；

（2）若不等式 $f\left(x\right)\ge x^2\mathit{–x}+m$ 的解集非空，求实数 m的取值范围.

[选修4―4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 xOy中，直线 $l_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2+t,\\ y=\mathit{kt},\end{array}\right.$ （ t为参数），直线 $l_2$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-2+m,\\ y=\frac{m}{k},\end{array}\right.（m\mathit{为参数）}$ .设 l ₁与 l ₂的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C ．

（1）写出 C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l3：\rho (\mathit{cos}\theta +\mathit{sin\theta })-\sqrt{2}=0$ ， M为 l ₃与 C的交点，求 M的极径.

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{lnx}+a{x}^2+(2a+1)$ x．

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）当 $a﹤0$ 时，证明 $f\left(x\right)\le -\frac{3}{4a}-2$ ．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 $y=x^2+\mathit{mx}-2$ 与x轴交于A，B两点，点C的坐标为 $(0,1)$ .当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ 的情况？说明理由；

（2）证明过 A， B， C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$ ．

（1）证明： $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ；

（2）已知△ACD是直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$．若E为棱BD上与D不重合的点，且 $\mathit{AE}\perp \mathit{EC}$ ，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$[10，15）$	$[15，20）$	$[20，25）$	$[25，30）$	$[30，35）$	$[35，40）$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 $Y$ 的所有可能值，并估计 $Y$ 大于零的概率．

设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1+3a_2+\dots +(2n-1)a_n=2n$ .

（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\left\{\frac{a_n}{2_n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+1，x\le 0，\\ 2^x，x>0，\end{array}\right.$ 则满足 $f\left(x\right)+f(x-\frac{1}{2})>1$ 的x的取值范围是__________.

$△\mathit{ABC}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $C=60°$ ， $b=\sqrt{6}$ ， $c=3$ ，则A=_________.

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1（a>0）$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5}x$ ，则 $a=$        .

已知向量 $\vec{a}=(-2,3),\vec{b}=(3,m)$ ，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$ ，则 $m=$        .

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ （    ）

A．

$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

1

已知椭圆 C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ， $（a>b>0）$ 的左、右顶点分别为 $A_1$ ， $A_2$ ，且以线 $A_1{A}_2$ 为直径的圆与直线 $\mathit{bx}-\mathit{ay}+2\mathit{ab}=0$ 相切，则 C的离心率为（    ）

A．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

D．

$\frac{1}{3}$

在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， E为棱 CD的中点，则（    ）

A．

$A_{1}E\perp D{C}_1$

B．

$A_{1}E\perp \mathit{BD}$

C．

$A_{1}E\perp B{C}_1$

D．

$A_{1}E\perp \mathit{AC}$

已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ）

A．

$\pi$

B．

$\frac{\text{3π}}{4}$

C．

$\frac{\pi }{2}$

D．

$\frac{\pi }{4}$