高中数学试题

已知 $\stackrel{⃑}{a}$ 、 $\stackrel{⃑}{b}$ 、 $\stackrel{⃑}{e}$ 是平面向量， $\stackrel{⃑}{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\stackrel{⃑}{a}$ 与 $\stackrel{⃑}{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$ ，向量 $\stackrel{⃑}{b}$ 满足 ${\stackrel{⃑}{b}}^2-4\stackrel{⃑}{e}\cdot \stackrel{⃑}{b}+3=0$ ，则 $\left|\stackrel{⃑}{a}-\stackrel{⃑}{b}\right|$ 的最小值是（ ）

A．

$\sqrt{3}-1$

B．

$\sqrt{3}+1$

C．

2

D．

$2-\sqrt{3}$

已知四棱锥 $S-\mathit{ABCD}$ 的底面是正方形，侧棱长均相等， $E$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的点（不含端点），设 $\mathit{SE}$ 与 $\mathit{BC}$ 所成的角为 ${\theta }_1$ ， $\mathit{SE}$ 与平面 $\mathit{ABCD}$ 所成的角为 ${\theta }_2$ ，二面角 $S-\mathit{AB}-C$ 的平面角为 ${\theta }_3$ ，则（ ）

A．

${\theta }_1\le {\theta }_2\le {\theta }_3$

B．

${\theta }_3\le {\theta }_2\le {\theta }_1$

C．

${\theta }_1\le {\theta }_3\le {\theta }_2$

D．

${\theta }_2\le {\theta }_3\le {\theta }_1$

设 $0<p<1$ ，随机变量 $\xi$ 的分布列如图，则当 $p$ 在 $\left(0,1\right)$ 内增大时，（ ）

$\xi$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{1-p}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{p}{2}$

A．	$D\left(\xi \right)$ 减小	B．	$D\left(\xi \right)$ 增大
C．	$D\left(\xi \right)$ 先减小后增大	D．	$D\left(\xi \right)$ 先增大后减小

已知直线 $m,n$ 和平面 $\alpha$ ， $n\subset \alpha$ ，则" $m\text{//}n$ "是" $m\text{//}\alpha$ "的（ ）

A．	充分不必要条件	B．	必要不充分条件
C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

函数 y= $2^{\left|x\right|}$ sin2 x的图象可能是（ ）

A．		B．
C．		D．

若复数 $z=\frac{2}{1-i}$ ，其中i为虚数单位，则 $\bar{z}$ =（ ）

A．

1+i

B．

1−i

C．

−1+i

D．

−1−i

某几何体的三视图如图所示（单位： $\mathit{cm}$ ），则该几何体的体积（单位： $c{m}^3$ ）是（ ）

A．

$2$

B．

$4$

C．

$6$

D．

$8$

双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的焦点坐标是（ ）

A．	$\left(-\sqrt{2},0\right)$ ， $\left(\sqrt{2},0\right)$	B．	$\left(-2,0\right)$ ， $\left(2,0\right)$
C．	$\left(0,-\sqrt{2}\right)$ ， $\left(0,\sqrt{2}\right)$	D．	$\left(0,-2\right)$ ， $\left(0,2\right)$

已知全集 $U=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ， $A=\left\{1,3\right\}$ ，则 ${\complement }_{U}A=$ （ ）

A．

$\varnothing$

B．

$\left\{1,3\right\}$

C．

$\left\{2,4,5\right\}$

D．

$\left\{1,2,3,4,5\right\}$

已知 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|\mathit{ax}-1\right|$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集；

（2）若 $x\in \left(0,1\right)$ 时不等式 $f\left(x\right)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的方程为 $y=k\left|x\right|+2$.以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \mathit{cos}\theta -3=0$.

（1）求 $C_2$的直角坐标方程；

（2）若 $C_1$与 $C_2$有且仅有三个公共点，求 $C_1$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^x-\mathit{lnx}-1$．

（1）设 $x=2$是 $f\left(x\right)$的极值点．求 $a$，并求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）证明：当 $a\ge \frac{1}{e}$时， $f\left(x\right)\ge 0$．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=2x$，点 $A\left(2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}0\right)$， $B\left(-2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}0\right)$，过点 $A$的直线 $l$与 $C$交于 $M$， $N$两点．

（1）当 $l$与 $x$轴垂直时，求直线 $\mathit{BM}$的方程；

（2）证明： $\angle \mathit{ABM}=\angle \mathit{ABN}$．

某家庭记录了未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量数据（单位： $m^3$ ）和使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0,0.1)$	$[0.1,0.2)$	$[0.2,0.3)$	$[0.3,0.4)$	$[0.4,0.5)$	$[0.5,0.6)$	$[0.6,0.7)$
频数	$1$	$3$	$2$	$4$	$9$	$26$	$5$

使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0,0.1)$	$[0.1,0.2)$	$[0.2,0.3)$	$[0.3,0.4)$	$[0.4,0.5)$	$[0.5,0.6)$
频数	$1$	$5$	$13$	$10$	$16$	$5$

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35m^3$ 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 $365$ 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCM}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$ ， $\angle \mathit{ACM}=90°$ ，以 $\mathit{AC}$ 为折痕将△ $\mathit{ACM}$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且 ．

（1）证明：平面 $\mathit{ACD}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2） $Q$ 为线段 $\mathit{AD}$ 上一点， $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上一点，且 ，求三棱锥 的体积．