高中数学试题

在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $A{A}_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A{D}_1$ 与 $D{B}_1$ 所成角的余弦值为（ ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如 $30=7+23$ ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A．

$\frac{1}{12}$

B．

$\frac{1}{14}$

C．

$\frac{1}{15}$

D．

$\frac{1}{18}$

为计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）

A．	$i=i+1$
B．	$i=i+2$
C．	$i=i+3$
D．	$i=i+4$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{cos}\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,BC=1,AC=5，则AB=（ ）

A．

$4\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{30}$

C．

$\sqrt{29}$

D．

$2\sqrt{5}$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

A．

B．

$y=\pm \sqrt{3}x$

C．

$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

D．

$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

已知向量 $\stackrel{⃑}{a},\stackrel{⃑}{b}$ 满足 $\left|\stackrel{⃑}{a}\right|=1$ ， $\stackrel{⃑}{a}\cdot \stackrel{⃑}{b}=-1$ ，则 $\stackrel{⃑}{a}\cdot (2\stackrel{⃑}{a}-\stackrel{⃑}{b})=$ （ ）

A．

4

B．

3

C．

2

D．

0

函数 $f\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为 (　　)

A．		B．
C．		D．

已知集合 $A=\left\{\left(x，y\right)\left|x^2+y^2\le 3，x\in Z，y\in Z\right.\right\}$ ，则 $A$ 中元素的个数为（ ）

A．

9

B．

8

C．

5

D．

4

$\frac{1+2i}{1-2i}=$ （ ）

A．

$-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$

B．

$-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$

C．

$-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$

D．

$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|$ ．

（1）画出 的图像；

（2）当 $x\in [0,+\infty )$ ， $f\left(x\right)\le \mathit{ax}+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\mathit{cos}\theta ，\\ y=\mathit{sin}\theta \end{array}\right.$（ $\theta$为参数），过点 $\left(0\hspace{0.33em}，-\sqrt{2}\right)$且倾斜角为 $\alpha$的直线 $l$与 $\odot O$交于 $A\hspace{0.33em}，\hspace{0.33em}B$两点．

（1）求 $\alpha$的取值范围；

（2）求 $\mathit{AB}$中点 $P$的轨迹的参数方程．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(2+x+a{x}^2\right)\mathit{ln}\left(1+x\right)-2x$．

（1）若 $a=0$，证明：当 $-1<x<0$时， $f\left(x\right)<0$；当 $x>0$时， $f\left(x\right)>0$；

（2）若 $x=0$是 $f\left(x\right)$的极大值点，求 $a$．

已知斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于 $A$， $B$两点，线段 $\mathit{AB}$的中点为 $M\left(1\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}m\right)\left(m>0\right)$．

（1）证明： $k<-\frac{1}{2}$；

（2）设 $F$为 $C$的右焦点， $P$为 $C$上一点,且 $\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}=0$．证明： $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}\right|$， $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}\right|$， $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}\right|$成等差数列，并求该数列的公差．

如图，边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 所在的平面与半圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $\mathit{AMD}\perp$ 平面 $\mathit{BMC}$ ；

（2）当三棱锥 $M-\mathit{ABC}$ 体积最大时，求面 $\mathit{MAB}$ 与面 $\mathit{MCD}$ 所成二面角的正弦值．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$，并将完成生产任务所需时间超过 $m$和不超过 $m$的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^2=\frac{n{\left(\mathit{ad}-\mathit{bc}\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$，