高中数学试题

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1$， $n{a}_{n+1}=2\left(n+1\right)a_n$，设 $b_n=\frac{a_n}{n}$．

（1）求 $b_1\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{b}_2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{b}_3$；

（2）判断数列 $\left\{b_n\right\}$是否为等比数列，并说明理由；

（3）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

△ $\mathit{ABC}$的内角 $\mathit{A\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}B\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}C}$的对边分别为 $\mathit{a\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}c}$，已知 $b\text{sin}C+c\text{sin}B=4a\text{sin}B\text{sin}C$， $b^2+c^2-a^2=8$，则△ $\mathit{ABC}$的面积为________．

直线 $y=x+1$与圆 $x^2+y^2+2y-3=0$交于 $\mathit{A\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}B}$两点，则 $\left|\mathit{AB}\right|=$________．

若 $x$， $y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-2y-2\le 0\\ x-y+1\ge 0\\ y\le 0\end{array}\right.$，则 $z=3x+2y$的最大值为_____________．

已知函数 $f\left(x\right)={\mathit{log}}_2\left(x^2+a\right)$，若 $f\left(3\right)=1$，则 $a=$________．

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{2}^{-x}，x\le 0\\ 1，x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f\left(x+1\right)<f\left(2x\right)$ 的 x的取值范围是（ ）

A．

$(-\infty ,-1]$

B．

$\left(0，+\infty \right)$

C．

$\left(-1，0\right)$

D．

$\left(-\infty ，0\right)$

已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A\left(1，a\right)$ ， $B\left(2，b\right)$ ，且 $\text{cos}2\alpha =\frac{2}{3}$ ，则 $\left|a-b\right|=$ （ ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

C．

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D．

$1$

在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2$ ， $A{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $30^{\circ }$ ，则该长方体的体积为（ ）

A．

$8$

B．

$6\sqrt{2}$

C．

$8\sqrt{2}$

D．

$8\sqrt{3}$

某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点 $M$ 在正视图上的对应点为 $A$ ，圆柱表面上的点 $N$ 在左视图上的对应点为 $B$ ，则在此圆柱侧面上，从 $M$ 到 $N$ 的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．

$2\sqrt{17}$

B．

$2\sqrt{5}$

C．

$3$

D．

2

已知函数 $f\left(x\right)=2{\mathit{cos}}^{2}x-{\mathit{sin}}^{2}x+2$ ，则（ ）

A．	$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，最大值为 $3$
B．	$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，最大值为 $4$
C．	$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $2\pi$ ，最大值为 $3$
D．	$f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $2\pi$ ，最大值为 $4$

在△ $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{BC}$ 边上的中线， $E$ 为 $\mathit{AD}$ 的中点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{EB}}=$ （ ）

A．	$\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}-\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$	B．	$\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}-\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$
C．	$\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$	D．	$\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$

设函数 $f\left(x\right)=x^3+\left(a-1\right)x^2+\mathit{ax}$ ．若 $f\left(x\right)$ 为奇函数，则曲线 在点 $\left(0，0\right)$ 处的切线方程为(　　)

A．

$y=-2x$

B．

$y=-x$

C．

$y=2x$

D．

$y=x$

已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_1$ ， $O_2$ ，过直线 $O_1{O}_2$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）

A．

$\text{12}\sqrt{2}\pi$

B．

$1\text{2π}$

C．

$8\sqrt{2}\pi$

D．

$\text{10}\text{π}$

已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1(a>0)$ 的一个焦点为 $\left(2\hspace{0.33em}，\hspace{0.33em}0\right)$ ，则 $C$ 的离心率为（ ）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）

A．	新农村建设后，种植收入减少
B．	新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．	新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．	新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半