已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A\left(1，a\right)$ ， $B\left(2，b\right)$ ，且 $\text{cos}2\alpha =\frac{2}{3}$ ，则 $\left|a-b\right|=$ （  ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

C．

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D．

$1$