已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为,短轴长为,直线与椭圆C交于M、N两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线与圆相切,证明:为定值
已知直线,圆,椭圆的离心率,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.求椭圆的方程;已知动直线(斜率存在)与椭圆交于两个不同点,且△的面积为,若为线段的中点,问:在轴上是否存在两个定点使得直线与的斜率之积为定值?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
(3)在(2)的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.
已知抛物线上点到焦点的距离为4.
(1)求,值;
(2)设,是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点,且(其中为坐标原点).求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
设函数,表示的导函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当为偶数时,若函数的图象恒在函数的上方,求实数的取值范围;
(3)当为奇数时,设,数列的前项和为,证明不等式对一切正整数均成立,并比较与的大小.
已知抛物线的焦点为,抛物线上存在一点到焦点的距离为,且点在圆上.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且离心率为.直线交椭圆于、两个不同的点,若原点在以线段为直径的圆的外部,求的取值范围.
已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
已知,且,1,2,3,….
(1)求,,;
(2)求数列的通项公式;
(3)当且时,证明:对任意都有成立.
在中,角,,所对的边分别为,,,为边上的高,已知,.
(1)若,求;
(2)求的最大值.
微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司名员工中的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有人,其余每天使用微信在一小时以上.若将员工年龄分成青年(年龄小于岁)和中年(年龄不小于岁)两个阶段,使用微信的人中是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,经常使用微信的员工中是青年人.
(Ⅰ)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出列联表;
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青年人 |
中年人 |
合计 |
经常使用微信 |
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不经常使用微信 |
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合计 |
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(Ⅱ)由列联表中所得数据,是否有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?
(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人,从这人中任选人,求事件 “选出的人均是青年人”的概率.
附:
某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数 (个) |
2 |
3 |
4 |
5 |
加工的时间 (小时) |
2.5 |
3 |
4 |
4.5 |
(1)求出关于的线性回归方程,并在坐标系中画出回归直线;
(2)试预测加工个零件需要多少小时?
(注:,,,)