高中数学空间向量的应用填空题

给出四个命题：
①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；
②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；
③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；
④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；
其中真命题的序号是________．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下面结论中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．
①BD∥平面CB₁D₁；②AC₁⊥平面CB₁D₁；③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是.

对于四面体，以下说法中，正确的序号为（多选、少选、选错均不得分）.
①若，，为中点，则平面⊥平面；
②若，，则；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；
④若以为端点的三条棱所在直线两两垂直，则在平面内的射影为的垂心；
⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB＝4，点E在C₁C上，且C₁E＝3EC．

（1）证明A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁－DE－B的余弦值．

在四面体ABCD中，有如下结论：
①若，则；
②若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；
③若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影为的外心；
④若四个面是全等的三角形，则为正四面体.
其中所有正确结论的序号是.

在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是_____________。

如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：

①存在点，使得//平面；
②存在点，使得平面；
③对于任意的点，平面平面；
④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.
其中，所有正确结论的序号是___________．

如图，在边长为的正方形SG₁G₂G₃中，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合点记为G，则点G到平面SEF的距离为___________．

如图， $\mathit{AE}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{CF}\parallel \mathit{AE},\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AB},\mathit{AB}=\mathit{AD}=1,\mathit{AE}=\mathit{BC}=2$．

（Ⅰ）求证： $\mathit{BF}\parallel$平面 $\mathit{ADE}$；

（Ⅱ）求直线 $\mathit{CE}$与平面 $\mathit{BDE}$所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E-\mathit{BD}-F$的余弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是 ．

（1）；
（2）；
（3）与平面所成的角为；
（4）四面体的体积为．

已知直线与直线,若，则=_________；若则=___________________．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ．

已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤．
（1）当满足条件时，有；（2）当满足条件时，有．