高中数学空间向量的应用解答题

（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB＝BC＝1，BB₁＝2，∠BCC₁＝60°。

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）设＝λ（0≤A≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点．

（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面;
（3）求平面与平面所成锐二面角的大小．

如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，试求二面角的余弦值．

在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，点在平面上的射影恰好为的中点，且，设为中点，

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．

（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形， ∥，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若
（ⅰ）求证平面平面；
（ⅱ）求直线与底面成角的正弦值.

如图，四边形为矩形，，，．

（1）；
（2）．

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点E是PB的中点，点F是EB的中点．

（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ） 求证：平面．

如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，且，.

（1）求证：；
（2）若，求点C到平面PBD的距离.

已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）设为中点，在棱上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

如图，菱形的边长为6，．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：面；
（2）求到平面的距离．

如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面．

（1）证明：CEPD；
（2）设、分别为、的中点，求直线与平面所成的角．

已知三棱柱底面，分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（Ⅰ）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

（本小题满分13分）
如图5，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，平面，点是的中点.

（1）求二面角的余弦值.
（2）求点到平面的距离.

如图，在三棱锥中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形， 若，D是PC的中点

（1）证明：；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．