初中数学旋转的性质试题

如图，点 $P$在等边 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，且 $\mathit{PC}=6$， $\mathit{PA}=8$， $\mathit{PB}=10$，将线段 $\mathit{PC}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$得到 $P^{\text{'}}C$，连接 $A{P}^{\text{'}}$，则 $\sin \angle \mathit{PA}{P}^{\text{'}}$的值为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕顶点 $C$逆时针旋转得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $M$是 $\mathit{BC}$的中点， $P$是 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PM}$．若 $\mathit{BC}=2$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，则线段 $\mathit{PM}$的最大值是 $($　　 $)$

A．4B．3C．2D．1

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{DC}$上一点，把 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{\Delta ABF}$的位置，若四边形 $\mathit{AECF}$的面积为25， $\mathit{DE}=2$，则 $\mathit{AE}$的长为 $($　　 $)$

A．5B． $\sqrt{23}$C．7D． $\sqrt{29}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$顺时针旋转到 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$的位置，点 $E$在斜边 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BD}$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$．

（1）如图1，若点 $F$与点 $A$重合，求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{DAF}=\angle \mathit{DBA}$，

①如图2，当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上时，判断线段 $\mathit{AF}$与线段 $\mathit{BE}$的数量关系，并说明理由；

②当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$上时，设 $\mathit{BE}=x$，请用含 $x$的代数式表示线段 $\mathit{AF}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，使点 $C$落在线段 $\mathit{AB}$上的点 $E$处，点 $B$落在点 $D$处，则 $B$、 $D$两点间的距离为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{10}$B． $2\sqrt{2}$C．3D． $2\sqrt{5}$

将 $\mathit{\Delta ABC}$以 $B$为旋转中心，顺时针旋转 $90°$．得到 $\mathit{\Delta DBE}$， $\mathit{AB}=4$，则点 $A$经过的路径长为　　．

如图，在平面直角坐标系中，直角 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(-3,1)$， $B(0,3)$， $C(0,1)$

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以点 $C$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）分别连接 $A{B}_1$、 $B{A}_1$后，求四边形 $A{B}_1{A}_{1}B$的面积．

如图，点 $O$是边长为 $4\sqrt{3}$的等边 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，将 $\mathit{\Delta OBC}$绕点 $O$逆时针旋转 $30°$得到△ $O{B}_1{C}_1$， $B_1{C}_1$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $B_1{C}_1$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，则 $\mathit{DE}=$　　．

把边长为3的正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$顺时针旋转 $45°$得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$，边 $\mathit{BC}$与 $D\text{'}C\text{'}$交于点 $O$，则四边形 $\mathit{ABOD}\text{'}$的周长是 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{2}$B．6C． $3\sqrt{2}$D． $3+3\sqrt{2}$

如图， $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点，将线段 $\mathit{AP}$绕点 $A$顺时针旋转 $60°$得到线段 $\mathit{AQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．若 $\mathit{PA}=6$， $\mathit{PB}=8$， $\mathit{PC}=10$，则四边形 $\mathit{APBQ}$的面积为　　．

如图①， $\mathit{AD}$为等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$的高，点 $A$和点 $C$分别在正方形 $\mathit{DEFG}$的边 $\mathit{DG}$和 $\mathit{DE}$上，连接 $\mathit{BG}$， $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{AE}$；

（2）将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$旋转，当线段 $\mathit{EG}$经过点 $A$时，（如图②所示）

①求证： $\mathit{BG}\perp \mathit{GE}$；

②设 $\mathit{DG}$与 $\mathit{AB}$交于点 $M$，若 $\mathit{AG}:\mathit{AE}=3:4$，求 $\frac{\mathit{GM}}{\mathit{MD}}$的值．

如图，在 $5\times 5$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，则 $A$点运动的路径 $\stackrel{̂}{\mathit{AA}\text{'}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\pi$B． $2\pi$C． $4\pi$D． $8\pi$

如图，在三角形ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°，\angle B＝50°$，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝130°$，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝150°$， $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{BC}＝5$，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝\alpha （90°＜\alpha ＜180°）$， $\mathit{AB}＝m$， $\mathit{BC}＝n$，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度 $（0°＜2\beta ＜180°）$得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）