初中数学二次函数的性质试题

二次函数 $y=x^2$的图象开口方向是 　　（填“向上”或“向下” $)$．

已知抛物线： $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a(a>0)$与 $x$轴交点为 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），顶点为 $D$．

（1）求点 $A$， $B$的坐标及抛物线的对称轴；

（2）若直线 $y=-\frac{3}{2}x$与抛物线交于点 $M$， $N$，且 $M$， $N$关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 $D\text{'}$在直线 $l:y=\frac{7}{8}$上，设直线 $l$与 $y$轴的交点为 $O\text{'}$，原抛物线上的点 $P$平移后的对应点为点 $Q$，若 $O\text{'}P=O\text{'}Q$，求点 $P$， $Q$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线： $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-\frac{3}{2})$．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图1，点 $D$为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{OD}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{OD}$，垂足为 $E$，若 $\mathit{BE}=2\mathit{OE}$，求点 $D$的

坐标；

（3）如图2，点 $M$为第四象限抛物线上一动点，连接 $\mathit{AM}$，交 $\mathit{BC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$，记 $\mathit{\Delta BMN}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$的最大值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，且 $A(-1,0)$，对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该抛物线的函数达式；

（2）直线 $l$过点 $A$且在第一象限与抛物线交于点 $C$．当 $\angle \mathit{CAB}=45°$时，求点 $C$的坐标；

（3）点 $D$在抛物线上与点 $C$关于对称轴对称，点 $P$是抛物线上一动点，令 $P(x_P$， $y_P)$，当 $1⩽x_P⩽a$， $1⩽a⩽5$时，求 $\mathit{\Delta PCD}$面积的最大值（可含 $a$表示）．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A(-3,0)$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,2)$，对称轴是直线 $x=-1$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点 $B$的直线 $l$与抛物线相交于另一点 $D$，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BAC}$时，求直线 $l$的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点 $D$在 $x$轴下方时，连接 $\mathit{AD}$，此时在 $y$轴左侧的抛物线上存在点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta BDP}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$．请直接出所有符合条件的点 $P$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $(-1,0)$，且对任意实数 $x$，都有 $4x-12⩽a{x}^2+\mathit{bx}+c⩽2x^2-8x+6$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与 $x$轴的正半轴交点为 $A$，与 $y$轴交点为 $C$；点 $M$是（1）中二次函数图象上的动点．问在 $x$轴上是否存在点 $N$，使得以 $A$、 $C$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

1

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．

二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$ 的图象过 $A(-3,y_1)$ ， $B(-1,y_2)$ ， $C(2,y_3)$ ， $D(4,y_4)$ 四个点，下列说法一定正确的是 $($ 　　 $)$

A．	若 $y_1{y}_2>0$ ，则 $y_3{y}_4>0$	B．	若 $y_1{y}_4>0$ ，则 $y_2{y}_3>0$
C．	若 $y_2{y}_4<0$ ，则 $y_1{y}_3<0$	D．	若 $y_3{y}_4<0$ ，则 $y_1{y}_2<0$

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $(1,m)$和点 $(3,n)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$上．

（1）若 $m=3$， $n=15$，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(-1,y_1)$， $(2,y_2)$， $(4,y_3)$在该抛物线上．若 $\mathit{mn}<0$，比较 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+4（a\ne 0）$与y轴交于点A，与x轴交于点 $C\mathit{（﹣}2，0）$，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $\mathit{AM}\perp \mathit{OB}$于点M，将 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　            ，顶点坐标为　           ；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿着OB平移后，得到 $\mathit{Rt}△\mathit{DEF}$．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $\mathit{AMEF}$的面积．

如图，二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A（4\mathit{，﹣}4）$， $B\mathit{（﹣}2，m）$，交y轴于点 $C（0\mathit{，﹣}4）$．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $\mathit{AB}，\mathit{AD}$，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $\mathit{EF}\parallel \mathit{BD}$交AD于点F．

（1）求二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）判断 $△\mathit{AB}D$的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $\mathit{BD}$上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $\mathit{AG}与\mathit{BD}$的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $\angle \mathit{EPF}＝90°$的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△\mathit{HPQ}$是以 $\angle \mathit{PQH}$为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．