初中数学二次函数的性质试题

如图，抛物线 $y=m{x}^2+(m^2+3)x-(6m+9)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B(3,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和直线 $\mathit{BC}$ 对应的函数表达式；

（2） $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

（3） $Q$ 为抛物线上一点，若 $\angle \mathit{ACQ}=45°$ ，求点 $Q$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$ 和二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象都经过点 $A(4,3)$ 和点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{OA}$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ． $D$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 不重合）， $E$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{OD}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $F$ ，以 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{DF}$ 为邻边作 $▱\mathit{DEGF}$ ．

（1）填空： $k=$ 　 　， $b=$ 　　；

（2）设点 $D$ 的横坐标是 $t(t>0)$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．若 $\angle \mathit{FGE}=\angle \mathit{DFE}$ ，求 $t$ 的值；

（3）过点 $F$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线交线段 $\mathit{DE}$ 于点 $P$ 若 $S_{\mathit{\Delta DFP}}=\frac{1}{3}{S}_{▱\mathit{DEGF}}$ ，求 $\mathit{OD}$ 的长．

已知二次函数 $y=(a-1)x^2$ ，当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大，则实数 $a$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$a>0$

B．

$a>1$

C．

$a\ne 1$

D．

$a<1$

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $A(0,-\frac{7}{4})$ ，点 $B(1,\frac{1}{4})$ ．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当 $-2⩽x⩽2$ 时，求二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的最大值和最小值；

（3）点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}//x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $-2m+1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $\mathit{PQ}$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．

①求 $m$ 的取值范围；

②当 $\mathit{PQ}⩽7$ 时，直接写出线段 $\mathit{PQ}$ 与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(-2⩽x<\frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,4)$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，分别过点 $C$ 、 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于 $E$ 、 $F$ 两点．当四边形 $\mathit{CDFE}$ 为正方形时，线段 $\mathit{CD}$ 的长为 　　．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$ ．

（1）若 $a=\frac{1}{2}$ ， $b=c=-2$ ，求方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A(x_1$ ， $0)$ 、 $B(x_2$ ， $0)$ ，且 $x_1<0<x_2$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $\mathit{OC}$ 上，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ，满足 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{ABD}$ ， $-\frac{b}{a}+c=x_1$ ．

①求证： $\mathit{\Delta AOC}\cong \mathit{\Delta DOB}$ ；

②连接 $\mathit{BC}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $F(0,x_1-x_2)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{CAF}+\angle \mathit{CBD}$ ，求 $\frac{c}{x_1}$ 的值．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$轴对称，则把该函数称之为“ $T$函数”，其图象上关于 $y$轴对称的不同两点叫做一对“ $T$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A(1,r)$与点 $B(s,4)$是关于 $x$的“ $T$函数” $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{4}{x}(x<0)\\ t{x}^2\left(x⩾0,t\ne 0,t\mathit{是常数}\right)\end{array}\right.$的图象上的一对“ $T$点”，则 $r=$　　， $s=$　　， $t=$　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$的函数 $y=\mathit{kx}+p(k$， $p$是常数）是“ $T$函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$的“ $T$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0$，且 $a$， $b$， $c$是常数）经过坐标原点 $O$，且与直线 $l:y=\mathit{mx}+n(m\ne 0$， $n>0$，且 $m$， $n$是常数）交于 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$两点，当 $x_1$， $x_2$满足 ${(1-x_1)}^{-1}+x_2=1$时，直线 $l$是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $C(2,-3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B(8,0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $\mathit{AB}$ 的表达式；

（3）判断 $\mathit{\Delta ABO}$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $\odot O$ 上的动点，且 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AP}$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\mathit{PB}$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

证明：任取 $x_1<x_2$，且 $x_1>0$， $x_2>0$．

则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$．

$\because x_1<x_2$且 $x_1>0$， $x_2>0$，

$\therefore x_1+x_2>0$， $x_1-x_2<0$．

$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$， $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$， $f$（1） $=\frac{1}{1}=1$， $f$（2） $=\frac{1}{2}$， $f$（3） $=$　　， $f$（4） $=$　　；

（2）猜想 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$是 　　函数（填“增”或“减” $)$，并证明你的猜想．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}+3$ 经过点 $A$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $\mathit{PQ}//y$ 轴时，作 $\mathit{QM}\perp \mathit{PQ}$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为邻边构造矩形 $\mathit{PQMN}$ ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $\mathit{PQMN}$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $\angle \mathit{CBF}=\angle \mathit{DQM}$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为"互异二次函数"．如图，在正方形 $\mathit{OABC}$ 中，点 $A(0,2)$ ，点 $C(2,0)$ ，则互异二次函数 $y={(x-m)}^2-m$ 与正方形 $\mathit{OABC}$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是 $($ 　　 $)$

A．

4， $-1$

B．

$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ ， $-1$

C．

4，0

D．

$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ ， $-1$

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P(m,n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l:y=x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0<m<3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l:y=x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．