2010年高考试题分项版文科数学之专题四 三角函数

某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为 $\alpha$ 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（  ）

在 $△ABC$中,若 $b=1$， $c=\sqrt{3}$， $\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$   .

已知函数 $f\left(x\right)=2\cos 2x+\sin x$.

（Ⅰ）求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$的值；
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$的最大值和最小值

计算 $1-2\sin 22.5^{°}$的结果等于（  ）

将函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\varphi \right)$的图像向左平移 $\frac{\pi }{2}$个单位，若所得图像与原图像重合，则 $\omega$的值不可能等于（  ）

观察下列等式：
① $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$；
② $\cos 4\alpha =8{\cos }^4\alpha －8{\cos }^2\alpha +1$；
③ $\cos 6\alpha =32{\cos }^6\alpha －48{\cos }^4\alpha ＋18{\cos }^2\alpha －1$；
④ $\cos 8\alpha =128{\cos }^8\alpha －256{\cos }^6\alpha ＋160{\cos }^4\alpha －32{\cos }^2\alpha ＋1$；
⑤ $\cos 10\alpha =\mathit{m}{\cos }^{10}\alpha －1280{\cos }^8\alpha ＋1120{\cos }^6\alpha ＋\mathit{n}{\cos }^4\alpha ＋\mathit{p}{\cos }^2\alpha －1$；
可以推测，       .

某港口 $O$要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 $O$北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 $v$海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$小时与轮船相遇.
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（III)是否存在 $v$，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

将函数$y=\sin x$的图像上所有的点向右平行移动$\frac{\pi }{10}$个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）

函数 $f\left(x\right)={\sin }^2\left(2x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$的最小正周期是.

在 $∆ABC$中,角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$,设 $S$为 $∆ABC$的面积,满足 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(a^2+b^2-c^2\right)$.
（Ⅰ）求角 $C$的大小;
（Ⅱ）求 $\sin A+\sin B$的最大值.

如图是函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )(x\in R)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{5},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将 $y=\sin x(x\in R)$ 的图象上所有的点（  ）

在 $△ABC$中， $\frac{AC}{AB}=\frac{\cos B}{\cos C}$.
（Ⅰ）证明 $B=C$：
（Ⅱ）若 $\cos A$=- $\frac{1}{3}$，求 $\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)$的值。

如图，质点 $p$在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 $p_0(\sqrt{2},-\sqrt{2})$，角速度为1，那么点 $p$到 $x$轴距离 $d$关于时间 $t$的函数图像大致为（  ）

若 $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$，a是第一象限的角，则 $\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$=（   ）

在 $△ABC$中， $D$为 $BC$边上一点， $BC=3BD,AD=\sqrt{2},\angle ADB={135}^{°}$.若 $AC=\sqrt{2}AB$,则 $BD=$   .

$△ABC$的面积是30，内角 $A,B,C$所对边长分别为 $a,b,c$， $\cos A=\frac{12}{13}$.
(Ⅰ)求 $\stackrel{\to }{AB}·\stackrel{\to }{AC}$；
(Ⅱ)若 $c-b=1$，求 $a$的值.

已知 $\sin \alpha =\frac{2}{3}$，则 $\cos \left(x-2\alpha \right)=$（   ）

$△ABC$中， $D$为边 $BC$上的一点， $BD=33,\sin B=\frac{5}{13},\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$，求 $AD$.

设 $\omega >0$,函数 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)+2$的图像向右平移 $\frac{4\pi }{3}$个单位后与原图像重合，则 $\omega$的最小值是（）

在 $△ABC$中， $a,b,c$分别为内角 $A,B,C$的对边，且 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$.
（Ⅰ）求 $A$的大小；
（Ⅱ）若 $\sin B+\sin C=1$，是判断 $△ABC$的形状.

在 $∆ABC$中,角 $A、B、C$所对的边长分别为 $a,b,c$,若 $\angle C={120}^{°},c=\sqrt{2}a$，则（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=\sin 2x-2{\sin }^{2}x$

（I）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期。
(II) 求函数 $f\left(x\right)$的最大值及 $f\left(x\right)$取最大值时 $x$的集合。

下列函数中，周期为 $\pi$，且在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$上为减函数的是（）

如题图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 $C$ ，各段弧所在的圆经过同一点 $P$ （点 $P$ 不在 $C$ 上）且半径相等. 设第 $i$ 段弧所对的圆心角为 ${\alpha }_i(i=1,2,3)$ ，则 $\cos \frac{{\alpha }_1}{3}\cos \frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}-\sin \frac{{\alpha }_1}{3}\sin \frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}=$      .

设 $△ABC$的内角 $A,B,C$的对边长分别为 $a,b,c$,且 $3b^2+3c^2-3a^2=4\sqrt{2}bc$.
(Ⅰ) 求 $\sin A$的值；
(Ⅱ)求 $\frac{2\sin (A+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\sin (B+C+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{1-\cos 2A}$的值.

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\pi -\omega x\right)\cos \omega x+{\cos }^2\omega x$（ $\omega >0$）的最小正周期为 $\pi$，
（Ⅰ）求 $\omega$的值；
（Ⅱ）将函数 $y=f\left(x\right)$的图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图像，求函数 $y=g\left(x\right)$在区间 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$上的最小值.

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 $m$，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 $n$，求 $n<m+2$的概率.

函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}),x\in R$的最小正周期为（   ）.

已经函数 $f\left(x\right)=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{2},g\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}$

(Ⅰ)函数 $f\left(x\right)$的图象可由函数 $g\left(x\right)$的图象经过怎样变化得出？
(Ⅱ)求函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$的最小值，并求使用 $h\left(x\right)$取得最小值的 $x$的集合。

函数 $y={\sin }^{2}x+\sin x-1$的值域为（）

如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y=2\sin 2x$ ， $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ， $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=\left(1+cotx\right){\sin }^{2}x-2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.
（1）若 $\tan \alpha =2$，求 $f\left(\alpha \right)$；
（2）若 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f\left(x\right)$的取值范围.

$\cos 300°=$（   ）.

已知 $\alpha$为第三象限的角， $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\tan 2\alpha =$    ．

已知 $△ABC$的内角 $A$， $B$及其对边 $a$， $b$满足 $a+b=acotA+bcotB$，求内角 $C$．

函数 $f\left(x\right)=\mathit{2}\mathit{sin}x\mathit{cos}x$是（   ）.

在 $△ABC$中，已知 $B={45}^{°}$, $D$是 $BC$边上的一点， $AD=10,AC=14,DC=6$，求 $AB$的长.

已知 $a,b,c$分别是 $△ABC$的三个内角 $A,B,C$所对的边，若 $a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$，则 $\sin A=$   .

设函数 $f\left(x\right)=3\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right),\omega >0,x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$，且以 $\frac{\pi }{2}$为最小正周期．
（1）求 $f\left(0\right)$；
（2）求 $f\left(x\right)$的解析式；
（3）已知 $f\left(\frac{\alpha }{4}+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{9}{5}$，求 $\sin \alpha$的值．