初中数学试题

如图，一段抛物线 $y=-x^2+4\left(-2⩽x⩽2\right)$为 $C_1$，与 $x$轴交于 $A_0,A_1$两点，顶点为 $D_1$；将 $C_1$绕点 $A_1$旋转 ${180}^{\circ }$得到 $C_2$，顶点为 $D_2;C_1$与 $C_2$组成一个新的图象，垂直于 $y$轴的直线 $l$与新图象交于点 $P_1\left(x_1,y_1\right),P_2\left(x_2,y_2\right)$，与线段 $D_1{D}_2$交于点 $P_3\left(x_3,y_3\right)$，设 $x_1,x_2,x_3$均为正数， $t=x_1+x_2+x_3$，则 $t$的取值范围是（ ）

A．

$6<t⩽8$

B．

$6⩽t⩽8$

C．

$10<t⩽12$

D．

$10⩽t⩽12$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=15,\mathit{BC}=20$，把边 $\mathit{AB}$沿对角线 $\mathit{BD}$平移，点 $A^{\text{'}},B^{\text{'}}$分别对应点 $A,B$.给出下列结论:①顺次连接点 $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C,D$的图形是平行四边形；②点 $C$到它关于直线 $A{A}^{\text{'}}$的对称点的距离为 $48$；③ $A^{\text{'}}C-B^{\text{'}}C$的最大值为 $15$；④ $A^{\text{'}}C+B^{\text{'}}C$的最小值为 $9\sqrt{17}$.其中正确结论的个数是（ ）

A．

$1$个

B．

$2$个

C．

$3$个

D．

$4$个

设在一个宽度为 $w$的小巷内搭梯子，梯子的脚位于 $P$点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面.将梯子的顶端放于一堵墙的 $Q$点时， $Q$离开地面的高度为 $k$，梯子的倾斜角为 ${45}^{\circ }$，将该梯子的顶端放于另一堵墙的 $R$点时， $R$离开地面的高度为 $h$，梯子的倾斜角为 ${75}^{\circ }$，则小巷的宽度 $w$等于（ ）

A．

$h$

B．

$k$

C．

$\mathrm{}\sqrt{\mathit{hk}}$

D．

$\mathrm{}\frac{h+k}{2}$

设 $a,b,c$是 $△\mathit{ABC}$的三边长，二次函数 $y=\left(a-\frac{b}{2}\right)x^2-\mathit{cx}-a-\frac{b}{2}$在 $x=1$取最小值 $-\frac{8}{5}b$，则 $△\mathit{ABC}$是（ ）

A．

等腰三角形

B．

锐角三角形

C．

钝角三角形

D．

直角三角形

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}\perp y$轴，垂足为 $E$，顶点 $A$在第二象限，顶点 $B$在 $y$轴正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的图象同时经过顶点 $C,D$.若点 $C$的横坐标为 $5,\mathit{BE}=2\mathit{DE}$，则 $k$的值为（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{40}{3}$

B．

$\mathrm{}\frac{5}{2}$

C．

$\mathrm{}\frac{5}{4}$

D．

$\mathrm{}\frac{20}{3}$

如图，已知 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A={60}^{\circ }\mathrm{，}\odot O$是 $△\mathit{ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高， $H$是 $△\mathit{ABC}$的垂心，连接 $\mathit{OA}\mathrm{，}\mathit{OB}\mathrm{，}\mathit{OC}$，连接 $\mathit{OH}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{AC}$于点 $N$，求证:

（1） $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{OAC}$；

（2） $\mathit{AH}$等于 $△\mathit{ABC}$外接圆半径；

（3） $\mathit{MH}=\mathit{NO}$.

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $C$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{4}x+c$经过 $B\mathrm{，}C$两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 $E$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一动点，当 $△\mathit{BEC}$面积最大时，请求出点 $E$的坐标和 $△\mathit{BEC}$面积的最大值?

如图，点 $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点，且 $\mathit{PA}=3\mathrm{，}\mathit{PB}=4\mathrm{，}\mathit{PC}=5$，若将 $△\mathit{APB}$绕着点 $B$逆时针旋转后得到 $△\mathit{CQB}$.

（1）求点 $P$与点 $Q$之间的距离；

（2）求 $\angle \mathit{APB}$的度数.

已知 $x_1\mathrm{，}{x}_2$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathrm{（}3a-1\mathrm{）}x+2a^2-1=0$的两个实数根，使得 $\left(3x_1-x_2\right)\left(x_1-3x_2\right)=-80$成立.求实数 $a$的所有可能值.

$A\mathrm{，}B$两个水管同时开始向一个空容器内注水.如图是 $A\mathrm{，}B$两个水管各自的注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数图象，已知 $B$水管的注水速度是 $1{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$， $1$小时后， $A$水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是 $\left(1\mathrm{，}2\right)$，且注水 $9$小时，容器刚好注满.请根据图象所提供的信息解答下列问题:

（1）直接写出 $A\mathrm{，}B$注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数解解析式，并注明自变量的取值范围；

$y_B=$__________（ ）， $y_A\left\{\begin{array}{c}\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\end{array}\right.$

（2）求容器的容量；

（3）根据图象，通过计算回答，当 $y_A>y_B$时，直接写出 $x$的取值范围.

在Rt $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=5\mathrm{，}\mathit{BC}=3$，将 $\mathit{ABC}$绕点 $B$顺时针旋转得到 $△A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}$，其中点 $A\mathrm{，}C$的对应点分别为点 $A^{\text{'}}\mathrm{，}{C}^{\text{'}}$.

（1）如图①，当点 $A^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$的延长线上时，求 $A{A}^{\text{'}}$的长；

（2）如图②，当点 $C^{\text{'}}$落在 $\mathit{AB}$的延长线上时，连接 $C{C}^{\text{'}}$交 $A^{\text{'}}B$于点 $M$，求 $\mathit{BM}$的长；

（3）如图③，连接 $A{A}^{\text{'}}\mathrm{，}C{C}^{\text{'}}$，直线 $C{C}^{\text{'}}$交 $A{A}^{\text{'}}$于点 $D$，点 $E$为 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$.在旋转过程中， $\mathit{DE}$是否存在最小值?若存在，求出 $\mathit{DE}$的最小值；若不存在，请说明理由.

已知平面直角坐标系中，点 $P\left(x_0\mathrm{，}{y}_0\right)$和直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$（其中 $A\mathrm{，}B$不全为0 $\mathrm{）}$，则点 $P$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离 $d$可用公式 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$来计算.

例如:求点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离，因为直线 $y=2x+1$可化为 $2x-y+1=0$，其中 $A=2\mathrm{，}B=-1\mathrm{，}C=1$，所以点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离为 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 1+\mathrm{（}-1\mathrm{）}\times 2+1|}{\sqrt{2^2+\mathrm{（}-1{\mathrm{）}}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M\mathrm{（}0\mathrm{，}3\mathrm{）}$到直线 $y=\sqrt{3}x+9$的距离；

（2）在（1）的条件下， $\odot M$的半径 $r=4$，判断 $\odot M$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$，求 $n$的值；若不相交，说明理由.

设 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为实数，且 $a\ne 0$，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A\mathrm{，}B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且抛物线的顶点在直线 $y=-1$上.若 $△\mathit{ABC}$是直角三角形，则 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$面积的最大值是＿＿＿＿＿.

若方程 $x^2-2\mathit{ax}+4a-3=0$的两根均大于 $1$，则实数 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle B={30}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AC}=1$.第一步，在 $\mathit{AB}$边上找一点 $D$，将纸片沿 $\mathit{CD}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，如图②；第二步，将纸片沿 $C{A}^{\text{'}}$折叠，点 $D$落在 $D^{\text{'}}$处，如图③.当点 $D^{\text{'}}$恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$的长为＿＿＿＿＿.