设在一个宽度为 $w$的小巷内搭梯子，梯子的脚位于 $P$点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面.将梯子的顶端放于一堵墙的 $Q$点时， $Q$离开地面的高度为 $k$，梯子的倾斜角为 ${45}^{\circ }$，将该梯子的顶端放于另一堵墙的 $R$点时， $R$离开地面的高度为 $h$，梯子的倾斜角为 ${75}^{\circ }$，则小巷的宽度 $w$等于（ ）

A．

$h$

B．

$k$

C．

$\mathrm{}\sqrt{\mathit{hk}}$

D．

$\mathrm{}\frac{h+k}{2}$