初中数学解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边长一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $E$，点 $O$在线段 $\mathit{ED}$的延长线上，且 $\odot O$经过 $C$， $D$两点．

（1）判断直线 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\widehat{\mathit{CD}}$的长为 $\frac{10}{9}\pi$，请求出 $\angle A$的度数．

随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：

星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日	合计
540	680	640	640	780	1110	1070	5460

（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　　元，中位数是　　元，众数是　　元．

（2）估计一个月的营业额（按30天计算） $:$

①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？

答（填“合适”或“不合适” $):$　　．

②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．

先化简： $(\frac{x-2}{x^2+2x}-\frac{x-1}{x^2+4x+4})÷\frac{4-x}{x}$，再选取一个适当的 $x$的值代入求值．

计算： ${(-3)}^2+\frac{\tan 45°}{2}+{(\sqrt{2}-1)}^0-2^{-1}+\frac{2}{3}\times (-6)$．

新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售 $A$， $B$两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中 $A$， $B$两种型号口罩所获利润之比为 $2:3$．已知每只 $B$型口罩的销售利润是 $A$型口罩的1.2倍．

（1）求每只 $A$型口罩和 $B$型口罩的销售利润；

（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中 $B$型口罩的进货量不超过 $A$型口罩的1.5倍，设购进 $A$型口罩 $m$只，这10000只口罩的销售总利润为 $W$元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？

某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图所示，他们先在点 $A$测得电子显示屏底端点 $D$的仰角 $\angle \mathit{DAC}=15°$，然后向建筑物的方向前进 $10m$到达点 $B$，又测得电子显示屏顶端点 $E$的仰角 $\angle \mathit{EBC}=45°$，测得电子显示屏底端点 $D$的仰角 $\angle \mathit{DBC}=30°$．（点 $A$， $B$， $C$在同一条直线上，且与点 $D$， $E$在同一平面内，不考虑测角仪高度）

（1）求此时他们离建筑的距离 $\mathit{BC}$的长；

（2）求电子显示屏 $\mathit{DE}$的高度．

（以上结果用含根号的式子表示）

计算： ${(\pi -3.14)}^0-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}+\sqrt[3]{27}-\sqrt{8}$．

为提高中小学生的身体素质，各校大力开展校园足球活动，某体育用品商店抓住这一商机，第一次用30000元购进 $A$， $B$两种型号的足球，并很快销售完毕，共获利12200元，其进价和售价如下表：

	$A$	$B$
进价（元 $/$个）	120	200
售价（元 $/$个）	170	280

（1）该体育用品商店购进 $A$， $B$两种型号的足球各多少个？

（2）该体育用品商店第二次准备用不超过40000元的资金再次购进 $A$， $B$两种型号的足球共260个，最少购进 $A$种型号的足球多少个？

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=20$， $\tan B=\frac{3}{4}$，点 $D$为 $\mathit{BC}$边上的动点（点 $D$不与点 $B$， $C$重合）．以 $D$为顶点作 $\angle \mathit{ADE}=\angle B$，射线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$边于点 $E$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AD}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCE}$；

（2）当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$时（如图 $2)$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）点 $D$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 $\mathit{DF}=\mathit{CF}$？若存在，求出此时 $\mathit{BD}$的长；若不存在，请说明理由．

随着 $5G$技术的发展，人们对各类 $5G$产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款 $5G$产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第 $x(x$为正整数）个销售周期每台的销售价格为 $y$元， $y$与 $x$之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求 $y$与 $x$之间的关系式；

（2）设该产品在第 $x$个销售周期的销售数量为 $p$（万台）， $p$与 $x$的关系可以用 $p=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整；

（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．

为进一步发展学生特长，某校要开设编织、摄影、航模、机器人四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对学生选修本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．

（1）本次调查，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）若该学校共有1700名学生据此估计有多少名学生选修航模；

（4）将2名选修摄影的学生和2名选修编织的学生编为一组，从中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求出2人都选修编织的概率．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$， $D$为圆上的两点， $\mathit{OC}//\mathit{BD}$，弦 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\widehat{\mathit{AC}}=\widehat{\mathit{CD}}$；

（2）若 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{EB}=3$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}//\mathit{CB}$交 $\odot O$于 $F$， $Q$两点（点 $F$在线段 $\mathit{PQ}$上），求 $\mathit{PQ}$的长．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．

2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 $A$处，测得起点拱门 $\mathit{CD}$的顶部 $C$的俯角为 $35°$，底部 $D$的俯角为 $45°$，如果 $A$处离地面的高度 $\mathit{AB}=20$米，求起点拱门 $\mathit{CD}$的高度．（结果精确到1米；参考数据： $\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70)$