初中数学解答题

已知 $m,n$是有理数，且 $\left(\sqrt{5}+2\right)m+\left(3-2\sqrt{5}\right)n+7=0$，求 $m,n$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD},\angle \mathit{EAF}=\frac{1}{4}\angle \mathit{EAB},\angle \mathit{ECF}=\frac{1}{4}\angle \mathit{ECD}$，求证: $\angle \mathit{AFC}=\frac{3}{4}\angle \mathit{AEC}$

已知 $\sqrt{2x+y-a-2015}+\sqrt{3x+2y+a-2017}=\sqrt{2016-x-y}+\sqrt{x+y-2016}$，求 $x,y,a$的值．

如图，在平面直角坐标系中已知点 $B\left(-2,4\right)$，四边形 $\mathit{ABCO}$是长方形，点 $D$从 $O\to C\to B$运动，速度为 $1$（单位 $/\text{s}$）.

（1）当 $D$在 $\mathit{OC}$上运动时，直线 $\mathit{BD}$能否将长方形 $\mathit{ABCD}$的面积分为 $1:2$两部分，若能，求 $D$点坐标，若不能，说明理由；

（2）点 $D$运动到 $\mathit{CB}$时，何时 $△\mathit{ABD}$的面积等于 $\frac{1}{4}$矩形面积?并求此时 $D$点坐标．

设等式 $\sqrt{a\left(x-a\right)}+\sqrt{a\left(y-a\right)}=\sqrt{x-a}-\sqrt{a-y}$在实数范围内成立，其中 $a,x,y$是两两不同的实数，求 $\frac{3x^2+\mathit{xy}-y^2}{x^2-\mathit{xy}+y^2}$的值．

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于 $E,\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于 $F,\mathit{AC}//\mathit{ED},\mathit{CE}$是 $\angle \mathit{ACB}$的角平分线，求证： $\angle \mathit{EDF}=\angle \mathit{BDF}$．

如果将点 $P$绕定点 $M$旋转 ${180}^{\circ }$后与点 $Q$重合，那么称点 $P$与点 $Q$关于点 $M$对称，定点 $M$叫对称中心，此时，点 $M$是线段 $\mathit{PQ}$的中点，如图，在直角坐标系中， $△\mathit{ABO}$的顶点 $A,B,O$的坐标分别为 $\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(0,0\right)$，点列 $P_1,P_2,P_3,\cdots$中的相邻两点都关于 $△\mathit{ABO}$的一个顶点对称，点 $P_1$与点 $P_2$关于点 $A$对称，点 $P_2$与点 $P_3$关于点 $B$对称，点 $P_3$与点 $P_4$关于点 $O$对称，点 $P_4$与点 $P_5$关于点 $A$对称，点 $P_5$与点 $P_6$关于点 $B$对称，点 $P_6$与点 $P_7$关于点 $O$对称，…，对称中心分别是 $A,B,O,A,B,O,\cdots$，且这些对称中心依次循环，已知 $P_1$的坐标为 $\left(1,1\right)$，试写出 $P_2,P_7,P_{100},P_{2021}$的坐标．

如图，已知:在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是长方形， $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90°,\mathit{AB}//\mathit{CD},\mathit{AB}=\mathit{CD}=8\text{cm},\mathit{AD}=\mathit{BC}=6\text{cm},D$点与原点重合，坐标为 $\left(0,0\right)$．

（1）写出点 $B$的坐标;

（2）动点 $P$从点 $A$出发以每秒 $3$个单位长度的速度向终点 $B$运动，动点 $Q$从点 $C$出发以每秒 $4$个单位长度的速度沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，若 $P,Q$两点同时出发，设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BC}$?

（3）在点 $Q$的运动过程中，当点 $Q$运动到什么位置时，使 $S_{△\mathit{APQ}}=9$?求出此时 $Q$点的坐标．

在如图所示的坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

$\left(1,1\right),\left(2,0\right),\left(1,-1\right),\left(6,-1\right),\left(6,2\right),\left(5,3\right),\left(4,3\right),\left(3,2\right),\left(5,2\right),(5,0),\left(4,1\right),\left(1,1\right)$，观察图形，你觉得它像什么?

（1）若以上的点的纵坐标不变，将横坐标分别加 $3$，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

（2）若以上点的横坐标不变，纵坐标分别减 $2$，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

在如图所示平面直角坐标系中，多边形 $\mathit{ABCDEF}$的各顶点的坐标分别是 $A\left(1,0\right),B\left(2,3\right),C\left(5,6\right),D\left(7,4\right),E\left(6,2\right),F\left(9,0\right)$，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的数.

（1）画出由里向外的第 $4$个正方形，求在第四个正方形边上有多少个整点?

（2）请你猜测由里向外第 $20$个正方形（实线）四条边上的整点共有多少个；

（3）探究点 $\left(-4\mathrm{，}3\right)$在由里向外的第几个正方形的边上，点 $\left(-2\mathrm{n}\mathrm{，}2\mathrm{n}\right)$在由里向外的第几个正方形的边上.

如图，将长方形 $\mathit{ABCD}$放置在平面直角坐标系中， $\mathit{AB}//x$轴，且 $\mathit{AB}=4\mathrm{，}\mathit{AD}=2$，且 $A\left(2\mathrm{，}1\right)$.

（1）求 $B\mathrm{，}C\mathrm{，}D$的坐标，并说明将长方形 $\mathit{ABCD}$进行怎样的平移使 $C$点移到 $A$点处；

（2） $y$轴上是否存在点 $P$，使 $△\mathit{PAB}$的面积等于长方形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{3}{4}$，若存在，求出 $P$点坐标；若不存在，说明理由.

在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 $O$出发，按向上、向右、向下、向右方向依次不断移动，每次移动 $1$个单位，其行走路线如图所示.

（1）填写下列各点的坐标：

$A_4$（ ）， $A_8$（ ）， $A_{12}$（ ）

（2）写出点 $A_{4n}$的坐标（ $n$是正整数）；

（3）指出蚂蚁从点 $A_{2016}$到点 $A_{2017}$的移动方向.

如图所示， $△A_1{B}_1{C}_1$是由 $△\mathit{ABC}$平移后得到的，已知 $△\mathit{ABC}$中任意一点 $P\left(x_0\mathrm{，}{y}_0\right)$经平移后对应点为 $P_1\left(x_0-6\mathrm{，}{y}_0-2\right)$.

（1）已知 $A\left(2\mathrm{，}6\right)，B\left(1\mathrm{，}3\right)，C\left(5\mathrm{，}3\right)，Q\left(3\mathrm{，}5\right)$，请写出 $A_1\mathrm{，}{B}_1\mathrm{，}{C}_1\mathrm{，}{Q}_1$的坐标

（2）试说明 $△A_1{B}_1{C}_1$是如何由 $△\mathit{ABC}$得到的?

（3）连接 $A_{1}A\mathrm{，}{C}_{1}C$，求出五边形 $A_1{B}_1{C}_1\mathit{CA}$的面积.

已知 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为正整数，且 $\frac{\sqrt{3}a+b}{\sqrt{3}b+c}$为有理数，证明： $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$为整数.