如图，在平面直角坐标系中已知点B2,4，四边形ABCO是长方

更新 2023-05-26
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中已知点 $B (- 2, 4)$ ，四边形 $ABCO$ 是长方形，点 $D$ 从 $O \to C \to B$ 运动，速度为 $1$ （单位 $/ s$ ）.

（1）当 $D$ 在 $OC$ 上运动时，直线 $BD$ 能否将长方形 $ABCD$ 的面积分为 $1 : 2$ 两部分，若能，求 $D$ 点坐标，若不能，说明理由；

（2）点 $D$ 运动到 $CB$ 时，何时 $△ ABD$ 的面积等于 $\frac{1}{4}$ 矩形面积?并求此时 $D$ 点坐标．

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如图，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $∠ DAB = 90 °$ ， $AB = 8$ ， $CD = 5$ ， $BC = 3 \sqrt{5}$ ．

（1）求梯形 $ABCD$ 的面积；

（2）联结 $BD$ ，求 $∠ DBC$ 的正切值．

[小题1]求梯形 $ABCD$ 的面积；

[小题2]联结 $BD$ ，求 $∠ DBC$ 的正切值．

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解不等式组： $\{\begin{matrix} 10 x > 7 x + 6, \\ x - 1 < \frac{x + 7}{3} \cdot \end{matrix}$

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计算： $27^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + | 3 - \sqrt{5} |$ ．

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综合与探究

如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4, - 3)$ ．

（1）请直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标及直线 $l$ 的函数表达式；

（2）若点 $P$ 是抛物线上的点，点 $P$ 的横坐标为 $m (m ⩾ 0)$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ． $PM$ 与直线 $l$ 交于点 $N$ ，当点 $N$ 是线段 $PM$ 的三等分点时，求点 $P$ 的坐标；

（3）若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ ADQ = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$ 为正方形 $ABCD$ 内一点， $∠ AEB = 90 °$ ，将 $Rt Δ ABE$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $ΔCBE'$ （点 $A$ 的对应点为点 $C)$ ．延长 $AE$ 交 $CE'$ 于点 $F$ ，连接 $DE$ ．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B E^{'} FE$ 的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $DA = DE$ ，请猜想线段 $CF$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $AB = 15$ ， $CF = 3$ ，请直接写出 $DE$ 的长．

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