初中数学相似三角形的判定与性质试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

问题提出

如图（1），在 $\mathit{\Delta A}\mathit{BC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{EC}=\mathit{DC}$，点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$于点 $F$．线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点 $D$， $F$重合时，直接写出一个等式，表示 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 $D$， $F$不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{kAC}$， $\mathit{EC}=\mathit{kDC}(k$是常数），点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$．直接写出一个等式，表示线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，点 $A$的坐标为 $(-6,0)$．如图1，正方形 $\mathit{OBCD}$的顶点 $B$在 $x$轴的负半轴上，点 $C$在第二象限．现将正方形 $\mathit{OBCD}$绕点 $O$顺时针旋转角 $\alpha$得到正方形 $\mathit{OEFG}$．

（1）如图2，若 $\alpha =60°$， $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，求直线 $\mathit{EF}$的函数表达式．

（2）若 $\alpha$为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，当 $\mathit{AE}$取得最小值时，求正方形 $\mathit{OEFG}$的面积．

（3）当正方形 $\mathit{OEFG}$的顶点 $F$落在 $y$轴上时，直线 $\mathit{AE}$与直线 $\mathit{FG}$相交于点 $P$， $\mathit{\Delta OEP}$的其中两边之比能否为 $\sqrt{2}:1$？若能，求点 $P$的坐标；若不能，试说明理由

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 边上一点，连结 $\mathit{BE}$ ，以 $\mathit{BE}$ 为对角线作正方形 $\mathit{BGEF}$ ，边 $\mathit{EF}$ 与正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 相交于点 $H$ ，连结 $\mathit{AF}$ ，有以下五个结论：

① $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{DBE}$ ；

② $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta DBE}$ ；

③ $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ；

④ $2B{G}^2=\mathit{BH}\cdot \mathit{BD}$ ；

⑤若 $\mathit{CE}:\mathit{DE}=1:3$ ，则 $\mathit{BH}:\mathit{DH}=17:16$ ．

你认为其中正确是 　　．（填写序号）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 上一动点（不包括端点）， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $\mathit{AD}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $\mathit{EB}$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $\mathit{EC}$ 与 $\mathit{EB}$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $\mathit{AC}=\mathit{xcm}$ ， $\mathit{EC}=y_1\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=y_2\mathit{cm}$ ．请你一起参与探究函数 $y_1$ 、 $y_2$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_1$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_2$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x=3$ 时， $y_1=$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_2$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $\mathit{AC}$ 取某值时，有 $\mathit{EC}=\mathit{EB}$ "．如图3，牛牛连结了 $\mathit{OE}$ ，尝试通过计算 $\mathit{EC}$ ， $\mathit{EB}$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{\Delta BEC}$ 与 $\mathit{\Delta FEC}$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，点 $B$ 的对称点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $G$ 为 $\mathit{CD}$ 中点，连结 $\mathit{BG}$ 分别与 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CF}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．若 $\mathit{BM}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{MG}=1$ ，则 $\mathit{BN}$ 的长为 　　， $\sin \angle \mathit{AFE}$ 的值为 　　．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\angle \mathit{ACF}=\angle B$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{FC}=4$， $\mathit{FA}=2$，求 $\mathit{AD}\cdot \mathit{AE}$的值．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{AD}=4$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，求 $\mathit{HF}$的长．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）连接 $\mathit{BO}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $\odot O$于点 $G$，连接 $\mathit{GC}$．若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{OE}=3$，求 $\mathit{GC}$和 $\mathit{OF}$的长．