初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于　 　．

如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．

在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；

（2）当的值最大时，求点的坐标；

（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　　．

初步尝试

（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　   　；

思考说理

（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；

拓展延伸

（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．

①求线段的长；

②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．

（1）如图①，求证：直线是的切线；

（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．

如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），，平分，交于点，交于点．

（1）　　．

（2）若，则　　．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{AB}$ 上沿 $C\to A$ ， $A\to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t\left(s\right)$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PQ}$ ， $\mathit{PE}$ 与边 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{QE}$ ．

（1）如图2，当 $t=5s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $\mathit{AQ}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t>\frac{9}{4}s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{FQ}$ ，若 $\mathit{FQ}$ 平分 $\angle \mathit{AFP}$ ，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 为半圆 $O$ 的直径， $M$ ， $C$ 是半圆上的三等分点， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BD}$ 与半圆 $O$ 相切于点 $B$ ．点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$ 上一动点（不与点 $A$ ， $M$ 重合），直线 $\mathit{PC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $D$ ， $\mathit{BE}\perp \mathit{OC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{PC}$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是 　　．（写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{PB}=\mathit{PD}$ ；② $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 的长为 $\frac{4}{3}\pi$ ；③ $\angle \mathit{DBE}=45°$ ；④ $\mathit{\Delta BCF}\backsim \mathit{\Delta PFB}$ ；⑤ $\mathit{CF}·\mathit{CP}$ 为定值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ， $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）已知 $\mathit{BD}=3\sqrt{5}$ ， $\mathit{CD}=5$ ，求 $O$ ， $E$ 两点之间的距离．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ ， $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{2}{3}$ ，四边形 $\mathit{BCFE}$ 的面积为21，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{91}{3}$

B．

25

C．

35

D．

63

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{DC}$ 上的一点， $\mathit{\Delta ABE}$ 是等边三角形， $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{BE}$ 于点 $F$ ，则下列结论不成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\angle \mathit{DAE}=30°$

B．

$\angle \mathit{BAC}=45°$

C．

$\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FB}}=\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，证明： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CA}=6$ ， $\mathit{CE}=3.6$ ，求 $\odot O$ 的半径 $\mathit{OA}$ 的长．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．