初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过 $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OD}//\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CD}$ ，在 $\mathit{OD}$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，使 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BDC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径是3， $\mathit{DG}·\mathit{DB}=9$ ，求 $\mathit{CE}$ 的长．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AE}$ 于点 $G$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当矩形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外部作等腰直角三角形 $\mathit{CFH}$ ，连接 $\mathit{EH}$ ．

①如图1，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，则线段 $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{EH}$ 之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　　；

②如图2，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，以 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{BF}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{BEHF}$ ， $M$ 是 $\mathit{BH}$ 中点，连接 $\mathit{GM}$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=2$ ，求 $\mathit{GM}$ 的最小值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{DF}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$， $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$．下列结论：① $\mathit{\Delta ACF}\cong \mathit{\Delta CDE}$；② $C{G}^2=\mathit{GH}·\mathit{BG}$；③若 $\mathit{DF}=2\mathit{CF}$，则 $\mathit{CE}=7\mathit{GF}$；④ $S_{\mathit{四边形}\mathit{ABCG}}=\frac{\sqrt{3}}{4}B{G}^2$．其中正确的结论有　   　．（只填序号即可）

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点， $\mathit{AE}$， $\mathit{BC}$的延长线交于点 $F$．若 $\mathit{\Delta ECF}$的面积为1，则四边形 $\mathit{ABCE}$的面积为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$， $E$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的中点．若 $\mathit{\Delta ADE}$的面积为 $\frac{1}{2}$，则四边形 $\mathit{DBCE}$的面积为　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$ ， $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 是线段 $\mathit{OB}$ 上的点，连结 $\mathit{AC}$ ．点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AP}=2\mathit{PC}$ ，函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $P$ ．当点 $C$ 在线段 $\mathit{OB}$ 上运动时， $k$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$0<k⩽2$

B．

$\frac{2}{3}⩽k⩽3$

C．

$\frac{2}{3}⩽k⩽2$

D．

$\frac{8}{3}⩽k⩽4$

如图1，已知点 $O$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=2$ ， $\mathit{OC}$ 平分 $\angle \mathit{BOD}$ ，与 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ， $\mathit{AC}$ 分别与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OD}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OC}//\mathit{AD}$ ；

（2）如图2，若 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AF}}$ 的值；

（3）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 的周长取最大值时，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DF}}$ 的值．

如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为　    ．

【感知】如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle D=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CB}}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle \mathit{ADC}=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 的延长线上， $\angle \mathit{FEG}=\angle \mathit{AEB}=90°$ ，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{EG}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$ ，连接 $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ．

求证： $\mathit{BH}=\mathit{GH}$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 内， $\angle \mathit{AEB}$ 十 $\angle \mathit{DEC}=180°$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ ，过 $E$ 作 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle \mathit{EFA}=\angle \mathit{AEB}$ ，延长 $\mathit{FE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{CG}$ ．

如图，点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，直线 $\mathit{AB}$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，若 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$ ， $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为6，则 $k$ 的值为 　 　．

如图， $\mathit{DB}$ 过 $\odot O$ 的圆心，交 $\odot O$ 于点 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线，点 $C$ 是切点，已知 $\angle D=30°$ ， $\mathit{DC}=\sqrt{3}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BOC}\backsim \mathit{\Delta BCD}$ ；

（2）求 $\mathit{\Delta BCD}$ 的周长．

如图，等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边长为3，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}$ ，线段 $\mathit{PQ}$ 在边 $\mathit{BA}$ 上运动， $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}$ ，有下列结论：

① $\mathit{CP}$ 与 $\mathit{QD}$ 可能相等；

② $\mathit{\Delta AQD}$ 与 $\mathit{\Delta BCP}$ 可能相似；

③四边形 $\mathit{PCDQ}$ 面积的最大值为 $\frac{31\sqrt{3}}{16}$ ；

④四边形 $\mathit{PCDQ}$ 周长的最小值为 $3+\frac{\sqrt{37}}{2}$ ．

其中，正确结论的序号为 $($ 　　 $)$

A．

①④

B．

②④

C．

①③

D．

②③

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta DFA}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则　　．

矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $\mathit{DE}$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $\mathit{BC}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ ，求 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{DE}}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{EP}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．