如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$ ， $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 是线段 $\mathit{OB}$ 上的点，连结 $\mathit{AC}$ ．点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AP}=2\mathit{PC}$ ，函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $P$ ．当点 $C$ 在线段 $\mathit{OB}$ 上运动时， $k$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$0<k⩽2$

B．

$\frac{2}{3}⩽k⩽3$

C．

$\frac{2}{3}⩽k⩽2$

D．

$\frac{8}{3}⩽k⩽4$