在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．
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已知关于x的一元二次方程 
.（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记
为y，求y与m的关系式；
（2）当
＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由
请阅读下面材料：
若
，
是抛物线
（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线
为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：
|
证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，
且 
≠
.
①-②得
.
∴
.
∴
.
又∵ 抛物线
（a ≠ 0）的对称轴为
，
∴ 直线
为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果
，
是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数
当x = 4时的函数值与x = 2007时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.
已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC. 
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =
，求AD的长.
两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转
角（
） ，将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE="" °，点C到直线l的距离等于，="" °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，="" °．
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