在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，把与$x$轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线$L_1:y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-2$的顶点为$D$，交$x$轴于点$A$、$B$（点$A$在点$B$左侧），交$y$轴于点$C$．抛物线$L_2$与$L_1$是“共根抛物线”，其顶点为$P$．

（1）若抛物线$L_2$经过点$(2,-12)$，求$L_2$对应的函数表达式；

（2）当$\mathit{BP}-\mathit{CP}$的值最大时，求点$P$的坐标；

（3）设点$Q$是抛物线$L_1$上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若$\mathit{\Delta DPQ}$与$\mathit{\Delta ABC}$相似，求其“共根抛物线” $L_2$的顶点$P$的坐标．