如图，在ΔABC和△ABC中，D、D分别是AB、AB上一点，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $D$ 、 $D^{'}$ 分别是 $AB$ 、 $A^{'} B^{'}$ 上一点， $\frac{AD}{AB} = \frac{A' D'}{A' B'}$ ．

（1）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{AB}{A' B'}$ 时，求证 $ΔABC ∽$ △ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{BC}{B' C'}$ 时，判断 $ΔABC$ 与△ $A^{'} B^{'} C'$ 是否相似，并说明理由．

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（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．