初中数学旋转的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$， $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中：

①探究三条线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{DN}$的长．

如图，边长为4的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$的中心与坐标原点 $O$重合， $\mathit{AF}//x$轴，将正六边形 $\mathit{ABCDEF}$绕原点 $O$顺时针旋转 $n$次，每次旋转 $60°$．当 $n=2017$时，顶点 $A$的坐标为　      　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$都在边 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{DAE}=60°$．若 $\mathit{BD}=2\mathit{CE}$，则 $\mathit{DE}$的长为　       　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}<\mathit{BC}$， $E$为 $\mathit{CD}$边的中点，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $E$顺时针旋转 $180°$，点 $D$的对应点为 $C$，点 $A$的对应点为 $F$，过点 $E$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BD}$交于点 $N$，现有下列结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{AD}+\mathit{MC}$；

② $\mathit{AM}=\mathit{DE}+\mathit{BM}$；

③ $D{E}^2=\mathit{AD}·\mathit{CM}$；

④点 $N$为 $\mathit{\Delta ABM}$的外心．

其中正确的个数为 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

已知 $O$为直线 $\mathit{MN}$上一点， $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，在等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$中， $\angle \mathit{BAO}=90°$， $\mathit{AC}//\mathit{OP}$交 $\mathit{OM}$于 $C$， $D$为 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{MN}$于 $E$．

（1）如图1，若点 $B$在 $\mathit{OP}$上，则

① $\mathit{AC}$　 $\mathit{ }$　 $\mathit{OE}$（填“ $<$”，“ $=$”或“ $>$” $)$；

②线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式是　    　；

（2）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <45°)$，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (45°<\alpha <90°)$，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式　   　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点（不与 $A$、 $C$重合），连结 $\mathit{BP}$，将 $\mathit{BP}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{BQ}$，连结 $\mathit{QP}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$， $\mathit{QP}$延长线与边 $\mathit{AD}$交于点 $F$．

（1）连结 $\mathit{CQ}$，求证： $\mathit{AP}=\mathit{CQ}$；

（2）若 $\mathit{AP}=\frac{1}{4}\mathit{AC}$，求 $\mathit{CE}:\mathit{BC}$的值；

（3）求证： $\mathit{PF}=\mathit{EQ}$．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\mathit{AO}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BO}=4\mathit{cm}$．将 $\mathit{\Delta AOB}$绕顶点 $O$，按顺时针方向旋转到△ $A_{1}O{B}_1$处，此时线段 $O{B}_1$与 $\mathit{AB}$的交点 $D$恰好为 $\mathit{AB}$的中点，则线段 $B_{1}D=$　     　 $\mathit{cm}$．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{7}$， $B{B}^{\text{'}}=2$， $\mathit{AD}=2$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转后得△ $A\text{'}B\text{'}C$，当 $A\text{'}B\text{'}$恰好经过点 $D$时，△ $B\text{'}\mathit{CD}$为等腰三角形，则 $\mathit{AA}\text{'}=($　　 $)$

A． $\sqrt{11}$B． $2\sqrt{3}$C． $\sqrt{13}$D． $\sqrt{14}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=2$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转至

△ $A{B}_1{C}_1$的位置，点 $B_1$恰好落在边 $\mathit{BC}$的中点处，则 $C{C}_1$的长为　 　．

将边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$按顺时针方向旋转到 $\mathit{FECG}$的位置（如图），使得点 $D$落在对角线 $\mathit{CF}$上， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $H$，则 $\mathit{HD}=$　      　．（结果保留根号）

如图，将四边形 $\mathit{ABCD}$绕顶点 $A$顺时针旋转 $45°$至四边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$的位置，若 $\mathit{AB}=16\mathit{cm}$，则图中阴影部分的面积为　     　 $c{m}^2$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=1$．如图所示，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$后得到△ $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}$．则图中阴影部分面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{\pi }{4}$B． $\frac{\pi -\sqrt{3}}{2}$C． $\frac{\pi -\sqrt{3}}{4}$D． $\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta DEC}$，点 $D$落在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DC}$平分 $\angle \mathit{ADE}$；

（2）试判断 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{BE}=\mathit{BD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AD}=4$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$逆时针旋转得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$， $\mathit{AB}\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $E$，且 $\mathit{DE}=B\text{'}E$，则 $\mathit{AE}$的长为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{5}$C． $\frac{25}{8}$D． $\frac{41}{10}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{AE}=\mathit{AB}$，将线段 $\mathit{AC}$绕 $A$点旋转到 $\mathit{AF}$的位置，使得 $\angle \mathit{CAF}=\angle \mathit{BAE}$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=65°$， $\angle \mathit{ACB}=28°$，求 $\angle \mathit{FGC}$的度数．