初中数学翻折变换（折叠问题）解答题

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}（\mathit{AD}＞\mathit{AB}）$折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．

（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{AB}＝3，\mathit{BC}＝9$，求线段CE的取值范围．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\mathit{FC}$交 $\mathit{AD}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFE}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求图中阴影部分的面积．

如图，已知⊙ O的半径为2， AB为直径， CD为弦． AB与 CD交于点 M，将 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 沿 CD翻折后，点 A与圆心 O重合，延长 OA至 P，使 AP＝ OA，连接 PC

（1）求 CD的长；

（2）求证： PC是⊙ O的切线；

（3）点 G为 $\stackrel{̂}{\mathit{ADB}}$ 的中点，在 PC延长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E．交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 于点 F（ F与 B、 C不重合）．问 GE• GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ，点 $E$ 为边 $\mathit{CD}$ 上的一点（与 $C$ 、 $D$ 不重合），四边形 $\mathit{ABCE}$ 关于直线 $\mathit{AE}$ 的对称图形为四边形 $\mathit{ANME}$ ，延长 $\mathit{ME}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $P$ ，记四边形 $\mathit{PADE}$ 的面积为 $S$ ．

（1）若 $\mathit{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $S$ 的值；

（2）设 $\mathit{DE}=x$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿 $\mathit{DF}$折叠，使点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上点 $E$处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$再次折叠，使得点 $B$落在边 $\mathit{CD}$上点 $B\text{'}$处，如图③，两次折痕交于点 $O$；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OE}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{FD}$，如图④．

（探究）

（1）证明： $\mathit{\Delta OBC}\cong \mathit{\Delta OED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=8$，设 $\mathit{BC}$为 $x$， $O{B}^2$为 $y$，求 $y$关于 $x$的关系式．

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象交于 $A(4,-2)$、 $B(-2,n)$两点，与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求 $k_2$， $n$的值；

（2）请直接写出不等式 $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$的解集；

（3）将 $x$轴下方的图象沿 $x$轴翻折，点 $A$落在点 $A\text{'}$处，连接 $A\text{'}B$， $A\text{'}C$，求△ $A\text{'}\mathit{BC}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{CD}$ 边上取一点 $E$ ，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 沿 $\mathit{BE}$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $\mathit{BC}=2\mathit{BA}$ ，求 $\angle \mathit{CBE}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=5$ ，且 $\mathit{AF}·\mathit{FD}=10$ 时，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（3）如图3，延长 $\mathit{EF}$ ，与 $\angle \mathit{ABF}$ 的角平分线交于点 $M$ ， $\mathit{BM}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $N$ ，当 $\mathit{NF}=\mathit{AN}+\mathit{FD}$ 时，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的点，点 $O$ 是 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BD}$ 的交点．若将 $\mathit{\Delta BED}$ 沿直线 $\mathit{BD}$ 折叠，则点 $E$ 与点 $F$ 重合．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是菱形；

（2）若 $\mathit{ED}=2\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}\cdot \mathit{AD}=3\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{EF}\cdot \mathit{BD}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，在以线段 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上取一点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{AB}$翻折后得到 $\mathit{\Delta ABD}$．

（1）试说明点 $D$在 $\odot O$上；

（2）在线段 $\mathit{AD}$的延长线上取一点 $E$，使 $A{B}^2=\mathit{AC}·\mathit{AE}$．求证： $\mathit{BE}$为 $\odot O$的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CB}$相交于点 $F$，若 $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AC}=4$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上的点，将平行四边形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$所在直线翻折，使点 $B$与点 $D$重合，且点 $A$落在点 $A\text{'}$处．

（1）求证：△ $A\text{'}\mathit{ED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{EBF}=60°$， $\mathit{EF}=3$，求四边形 $\mathit{BFDE}$的面积．

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作 $\mathit{EG}\parallel \mathit{CD}$交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}＝6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求BE的长．