初中数学切线的判定解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$交于点 $D$、 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $\odot O$的半径为3， $\angle \mathit{CDF}=15°$，求阴影部分的面积；

（2）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（3）求证： $\angle \mathit{EDF}=\angle \mathit{DAC}$．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．

如图1， $D$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$上的一点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$、 $N$， $F$是 $\odot O$上的一点，过 $F$的直线分别与 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DE}$的延长线相交于 $A$、 $P$，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{PD}$于 $M$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle P$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为4， $\mathit{DM}=1$，求 $\mathit{PM}$的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{BM}$；在线段 $\mathit{DN}$上有一点 $H$，并且以 $H$、 $D$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BFM}$相似，求 $\mathit{DH}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点 $(C$不与点 $A$， $B$重合）连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$．将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{AC}$翻折，点 $D$落在点 $E$处得 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{AE}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=15°$， $\mathit{OA}=2$，求阴影部分面积．

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$ 的中点，点 $C$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle B$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\angle \mathit{BDE}=30°$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图， $\mathit{BD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆 $\odot O$的直径，且 $\angle \mathit{BAE}=\angle C$．

（1）求证： $\mathit{AE}$与 $\odot O$相切于点 $A$；

（2）若 $\mathit{AE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle D=60°$，对角线 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\odot O$经过点 $A$， $B$，与 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{AO}$并延长与 $\odot O$交于点 $F$，与 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{EB}$．

（1）求证： $\mathit{EC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$的长（结果保留 $\pi )$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AD}$ 是 $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 边于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DF}//\mathit{CE}$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=5$ ， $\sin \angle B=\frac{3}{5}$ ，求线段 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{OD}$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ，作 $\angle \mathit{EBP}=\angle \mathit{EBC}$ ， $\mathit{BP}$ 交 $\mathit{OE}$ 的延长线于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2$ ， $\mathit{PD}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$．

（1）试判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{BE}=3\sqrt{3}$， $\mathit{DF}=3$，求图中阴影部分的面积．