初中数学切线的性质解答题

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径． $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦，弦 $\mathit{ED}$垂直 $\mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{ED}$的延长线于点 $P$

（1）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PG}$；

（2）判断 $P{G}^2=\mathit{PD}\cdot \mathit{PE}$是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$为 $\mathit{BC}$中点， $\mathit{OG}=\sqrt{5}$， $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\angle B=30°$，求 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{DE}}$的值．

如图，已知 $P$为锐角 $\angle \mathit{MAN}$内部一点，过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$于点 $B$， $\mathit{PC}\perp \mathit{AN}$于点 $C$，以 $\mathit{PB}$为直径作 $\odot O$，交直线 $\mathit{CP}$于点 $D$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{AP}$交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{BAC}$．

（2）连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$时，在点 $P$的整个运动过程中．

①若 $\angle \mathit{BDE}=45°$，求 $\mathit{PD}$的长．

②若 $\mathit{\Delta BED}$为等腰三角形，求所有满足条件的 $\mathit{BD}$的长．

（3）连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{EC}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AP}$于点 $F$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=1$， $\mathit{OC}//\mathit{BE}$时，记 $\mathit{\Delta OFP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFE}$的面积为 $S_2$，请写出 $\frac{S_1}{S_2}$的值．

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$为 $\mathit{AB}$延长线上的一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AD}\perp \mathit{PC}$，垂足为 $D$，弦 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PF}$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{2}$， $\mathit{AE}=5\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PC}$的长．

如图，动点 $M$在以 $O$为圆心， $\mathit{AB}$为直径的半圆弧上运动（点 $M$不与点 $A$、 $B$及 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点 $F$重合），连接 $\mathit{OM}$．过点 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{BE}$为边在半圆同侧作正方形 $\mathit{BCDE}$，过点 $M$作 $\odot O$的切线交射线 $\mathit{DC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{BN}$．

（1）探究：如图一，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}$上运动时；

①判断 $\mathit{\Delta OEM}\backsim \mathit{\Delta MDN}$是否成立？请说明理由；

②设 $\frac{\mathit{ME}+\mathit{NC}}{\mathit{MN}}=k$， $k$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设 $\angle \mathit{MBN}=\alpha$， $\alpha$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{FB}}$上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

如图，已知 $\odot A$的圆心为点 $(3,0)$，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{37}{6}x+c$过点 $A$，与 $\odot A$交于 $B$、 $C$两点，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $B$、 $C$两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点 $B$的坐标，并求 $a$、 $c$的值；

（2）直线 $y=\mathit{kx}+1$经过点 $B$，与 $x$轴交于点 $D$．点 $E$（与点 $D$不重合）在该直线上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，请判断点 $E$是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线 $y=k_{1}x-1$与 $\odot A$相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

如图1， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $E$是 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{EC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{OP}\perp \mathit{AO}$交 $\mathit{AC}$于点 $P$，交 $\mathit{EC}$的延长线于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PCD}$是等腰三角形；

（2） $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$于 $H$点，交 $\odot O$于 $G$点，过 $B$点作 $\mathit{BF}//\mathit{EC}$，交 $\odot O$于点 $F$，交 $\mathit{CG}$于 $Q$点，连接 $\mathit{AF}$，如图2，若 $\sin E=\frac{3}{5}$， $\mathit{CQ}=5$，求 $\mathit{AF}$的值．

在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，0）， B（2，0）， C（3，5）．

（1）求过点 A， C的直线解析式和过点 A， B， C的抛物线的解析式；

（2）求过点 A， B及抛物线的顶点 D的⊙ P的圆心 P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ与⊙ P相切，若存在请求出 Q点坐标．

如图， 是 的直径， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ ， ，连接 ．

（1）求证： ；

（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 ， 所在的直线与 所在的直线相交于点 ，连接 ．

①试探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；

② $\frac{\mathit{EB}}{\mathit{CD}}$ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $C(0,3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MP}//y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\mathit{\Delta QCO}$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $\mathit{MP}$ 为半径作 $\odot M$ ，当 $\odot M$ 与坐标轴相切时，求出 $\odot M$ 的半径．