如图，顶点为的抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，过点
作
轴交抛物线于另一点
，作
轴，垂足为点
，双曲线
经过点
，连接
，
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点，
分别是
轴，
轴上的两点，当以
，
，
，
为顶点的四边形周长最小时，求出点
，
的坐标；
（3）动点从点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿
方向运动，运动时间为
秒，当
为何值时，
的度数最大？（请直接写出结果）
如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，点
，
的中线
与
轴交于点
，且
经过
，
，
三点．
（1）求圆心的坐标；
（2）若直线与
相切于点
，交
轴于点
，求直线
的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，在过点且以圆心
为顶点的抛物线上有一动点
，过点
作
轴，交直线
于点
．若以
为半径的
与直线
相交于另一点
．当
时，求点
的坐标．
（1）方法选择
如图①，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
．求证：
．
小颖认为可用截长法证明：在上截取
，连接
小军认为可用补短法证明：延长至点
，使得
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
[探究1]
如图②，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
是
的直径，
．试用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
[探究2]
如图③，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是
．
（3）拓展猜想
如图④，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是 ．
如图，抛物线过点
，且与直线
交于
、
两点，点
的坐标为
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上位于直线
上方的一点，过点
作
轴交直线
于点
，点
为对称轴上一动点，当线段
的长度最大时，求
的最小值；
（3）设点为抛物线的顶点，在
轴上是否存在点
，使
？若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由．
已知二次函数的图象过点
，点
与
不重合）是图象上的一点，直线
过点
且平行于
轴．
于点
，点
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点在线段
的中垂线上；
（3）设直线交二次函数的图象于另一点
，
于点
，线段
的中垂线交
于点
，求
的值；
（4）试判断点与以线段
为直径的圆的位置关系．
如图，在以点为中心的正方形
中，
，连接
，动点
从点
出发沿
以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点
停止．在运动过程中，
的外接圆交
于点
，连接
交
于点
，连接
，将
沿
翻折，得到
．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）当点恰好落在线段
上时，求
的长；
（3）设点运动的时间为
秒，
的面积为
，求
关于时间
的关系式．
如图1，经过等边
的顶点
，
（圆心
在
内），分别与
，
的延长线交于点
，
，连结
，
交
于点
．
（1）求证：．
（2）当，
时，求
的长．
（3）设，
．
①求关于
的函数表达式；
②如图2，连结，
，若
的面积是
面积的10倍，求
的值．
如图，已知锐角三角形内接于圆
，
于点
，连接
．
（1）若，
①求证：．
②当时，求
面积的最大值．
（2）点在线段
上，
，连接
，设
，
，
是正数），若
，求证：
．
如图，是
的直径，
、
两点在
的延长线上，
是
上的点，且
，延长
至
，使得
，设
，
．
（1）求证：；
（2）求，
的长；
（3）若点在
、
、
三点确定的圆上，求
的长．
已知是
的直径，
是
的切线，
是
上的点，
，
是直径
上的动点，
与直线
上的点连线距离的最小值为
，
与直线
上的点连线距离的最小值为
．
（1）求证：是
的切线；
（2）设，求
的正弦值；
（3）设，
，求
的取值范围．
已知的直径
，弦
与弦
交于点
．且
，垂足为点
．
（1）如图1，如果，求弦
的长；
（2）如图2，如果为弦
的中点，求
的余切值；
（3）联结、
、
，如果
是
的内接正
边形的一边，
是
的内接正
边形的一边，求
的面积．
如图，已知的半径长为1，
、
是
的两条弦，且
，
的延长线交
于点
，联结
、
．
（1）求证：；
（2）当是直角三角形时，求
、
两点的距离；
（3）记、
、
的面积分别为
、
、
，如果
是
和
的比例中项，求
的长．
问题提出：
（1）如图1，已知，试确定一点
，使得以
，
，
，
为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，
，
，若要在该矩形中作出一个面积最大的
，且使
，求满足条件的点
到点
的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔，按规定，要以塔
为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区
．根据实际情况，要求顶点
是定点，点
到塔
的距离为50米，
，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区
？若可以，求出满足要求的平行四边形
的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔
的占地面积忽略不计）
问题提出
（1）如图①，已知直线及
外一点
，试在直线
上确定
、
两点，使
，并画出这个
．
问题探究
（2）如图②，是边长为28的正方形
的对称中心，
是
边上的中点，连接
．试在正方形
的边上确定点
，使线段
和
将正方形
分割成面积之比为
的两部分．求点
到点
的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园，
，
．根据设计要求，点
、
在对角线
上，且
，并在四边形区域
内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：
，
问题提出
（1）如图①，在中，
，
，则
的外接圆半径
的值为 ．
问题探究
（2）如图②，的半径为13，弦
，
是
的中点，
是
上一动点，求
的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，、
、
是某新区的三条规划路，其中
，
，
，
所对的圆心角为
，新区管委会想在
路边建物资总站点
，在
，
路边分别建物资分站点
、
，也就是，分别在
、线段
和
上选取点
、
、
．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按
的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路
、
和
．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段
、
、
之和最短，试求
的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
粤公网安备 44130202000953号