初中数学四边形综合题解答题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是边长为4的正方形，点 $P$为 $\mathit{OA}$边上任意一点（与点 $O$、 $A$不重合），连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{PM}=\mathit{CP}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{AO}$，交 $\mathit{BO}$于点 $N$，连接 $\mathit{ND}$、 $\mathit{BM}$，设 $\mathit{OP}=t$．

（1）求点 $M$的坐标（用含 $t$的代数式表示）；

（2）试判断线段 $\mathit{MN}$的长度是否随点 $P$的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{BNDM}$的面积最小；

（4）在 $x$轴正半轴上存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QMN}$是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点 $Q$的坐标（用含 $t$的式子表示）．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，记旋转角为 $\alpha$，当 $90°<\alpha <180°$时，作 $A\text{'}D\perp \mathit{AC}$，垂足为 $D$， $A\text{'}D$与 $B\text{'}C$交于点 $E$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{CA}\text{'}D=15°$时，作 $\angle A\text{'}\mathit{EC}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

①写出旋转角 $\alpha$的度数；

②求证： $\mathit{EA}\text{'}+\mathit{EC}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$是直线 $A\text{'}D$上的一个动点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PF}$，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PA}+\mathit{PF}$的最小值．（结果保留根号）

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．

如图1，矩形ABCD中， $\mathit{AB}＝7\mathit{cm}$ ， $\mathit{AD}＝4\mathit{cm}$，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且 $\mathit{DF}＝\mathit{acm}$，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm²，当 $0\le t\le 1$时，△PAE的面积y（cm²）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为   　，AE＝　 　cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若 $a=\frac{4}{3}\text{cm}$，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝60°，∠ D＝30°， AB＝ BC．

（1）求∠ A+∠ C的度数；

（2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 AE ²＝ BE ²+ CE ²，求点 E运动路径的长度．

如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（ $4\sqrt{3},4$），点D在CB上，且CD：DB＝2：1，OB交AD于点E．平行于x轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移，到C点时停止；l与线段OB，AD分别相交与M，N两点，以MN为边作等边△MNP（点P在线段MN的下方）．设直线l的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积为S（平分单位）．

（1）直接写出点E的坐标；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得 $S=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$成立？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是   ；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q

（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）

（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；

（3）设AM＝x，d为点M到直线PQ的距离，y＝d²，

①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

如图， BD是正方形 ABCD的对角线， BC＝2，边 BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、 QD，并过点 Q作 QO⊥ BD，垂足为 O，连接 OA、 OP．

（1）请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？

（2）请判断 OA、 OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设 y＝ S _{△ OPB}， BP＝ x（0≤ x≤2），求 y与 x之间的函数关系式，并求出 y的最大值．