初中数学四边形综合题解答题

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为对角线 $AC$ 所在直线上的一个动点，连接 $PD$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ PD$ ，交直线 $AB$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $MN ⊥ AB$ ，交直线 $CD$ 于点 $M$ ，交直线 $AB$ 于点 $N$ ． $AB = 4 \sqrt{3}$ ， $AD = 4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $AC$ 上时， $∠ PDM$ 和 $∠ EPN$ 的数量关系为： $∠ PDM$ $∠ EPN$ ；

② $\frac{DP}{PE}$ 的值是　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $CA$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $PD$ ， $PE$ 为邻边作矩形 $PEFD$ ．设 $PM$ 的长为 $x$ ，矩形 $PEFD$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

来源：2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷

更新：2021-01-17
题型：未知
难度：未知

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【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 6$ ， $CD = 4$ ，连接 $AC$ ．若 $AC = AB$ ，求 $\sin ∠ CAD$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $ABCD$ 中， $AD = BD$ ， $AD ⊥ BD$ ，当 $2 C D^{2} + C B^{2} = C A^{2}$ 时，判断四边形 $ABCD$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (1, 2)$ ，四边形 $ABCD$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $BD$ 上，且位于 $ΔABC$ 内部， $∠ AEC = 90 ° + ∠ ABC$ ．设 $\frac{AE}{BE} = u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

来源：2020年江苏省南通市中考数学试卷

更新：2021-01-04
题型：未知
难度：未知

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（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　　；

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

来源：2020年江苏省连云港市中考数学试卷

更新：2020-12-31
题型：未知
难度：未知

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定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $CD$ 上的点，将 $ΔBCE$ 绕 $B$ 点旋转，使 $BC$ 与 $BA$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $DA$ 的延长线上，则四边形 $BEDF$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $ABCD$ 是"直等补"四边形， $AB = BC = 5$ ， $CD = 1$ ， $AD > AB$ ，点 $B$ 到直线 $AD$ 的距离为 $BE$ ．

①求 $BE$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $AB$ 、 $AD$ 边上的动点，求 $ΔMNC$ 周长的最小值．

来源：2020年湖南省益阳市中考数学试卷

更新：2020-12-31
题型：未知
难度：未知

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如图1，平面直角坐标系 $xOy$ 中，等腰 $ΔABC$ 的底边 $BC$ 在 $x$ 轴上， $BC = 8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $OA = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3, 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $CB$ 向左运动，到达 $OB$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $CB$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $EF$ 为边作正方形 $EFGH$ ，使正方形 $EFGH$ 和 $ΔABC$ 在 $BC$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t ⩾ 0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $AC$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $EFGH$ 与 $ΔABC$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $AC$ 的中点 $D$ ，连结 $OD$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $OD - DC - CD - DO$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $EFGH$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $EFGH$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．