初中数学四边形综合题解答题

问题提出

（1）如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=45°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，且 $\mathit{DF}=5$ ，求四边形 $\mathit{ABFE}$ 的面积．（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ ．按设计要求，要在五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ 内挖一个四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ，使点 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{AB}$ 上，且满足 $\mathit{BO}=2\mathit{AN}=2\mathit{CP}$ ， $\mathit{AM}=\mathit{OC}$ ．已知五边形 $\mathit{ABCDE}$ 中， $\angle A=\angle B=\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=800m$ ， $\mathit{BC}=1200m$ ， $\mathit{CD}=600m$ ， $\mathit{AE}=900m$ ．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ？若存在，求四边形 $\mathit{OPMN}$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由．