在 中, , , ,过点 作直线 ,将 绕点 顺时针旋转得到△ (点 , 的对应点分别为 , ,射线 , 分别交直线 于点 , .
(1)如图1,当 与 重合时,求 的度数;
(2)如图2,设 与 的交点为 ,当 为 的中点时,求线段 的长;
(3)在旋转过程中,当点 , 分别在 , 的延长线上时,试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形 的最小面积;若不存在,请说明理由.
如图,线段 ,射线 , 为射线 上一点,以 为边作正方形 ,且点 、 与点 在 两侧,在线段 上取一点 ,使 ,直线 与线段 相交于点 (点 与点 、 不重合).
(1)求证: ;
(2)判断 与 的位置关系,并说明理由;
(3)求 的周长.
定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形 , , ,
①若 , ,求对角线 的长.
②若 ,求证: ,
(2)如图2,在矩形 中, , ,点 是对角线 上一点,且 ,过点 作直线分别交边 , 于点 , ,使四边形 是等腰直角四边形,求 的长.
定义:有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.
(1)三等角四边形 中, ,求 的取值范围;
(2)如图,折叠平行四边形纸片 ,使顶点 , 分别落在边 , 上的点 , 处,折痕分别为 , .求证:四边形 是三等角四边形.
(3)三等角四边形 中, ,若 ,则当 的长为何值时, 的长最大,其最大值是多少?并求此时对角线 的长.
请完成如下探究系列的有关问题:
探究1:如图1, 是等腰直角三角形, ,点 为 上一动点,连接 ,以 为边在 的右侧作正方形 ,连接 ,则线段 , 之间的位置关系为 ,数量关系为 .
探究2:如图2,当点 运动到线段 的延长线上,其余条件不变,探究1中的两条结论是否仍然成立?为什么?(请写出证明过程)
探究3:如图3,如果 , , 仍然保留为 ,点 在线段 上运动,请你判断线段 , 之间的位置关系,并说明理由.
如图1,将 纸片沿中位线 折叠,使点 对称点 落在 边上,再将纸片分别沿等腰 和等腰 的底边上的高线 , 折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 ,则操作形成的折痕分别是线段 , ; .
(2) 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 ,若 , ,求 的长;
(3)如图4,四边形 纸片满足 , , , , ,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出 、 的长.
如图1,在 中, 于点 , 的垂直平分线交 于点 ,交 于点 , , , .
(1)如图2,作 于点 ,交 于点 ,将 沿 方向平移,得到△ ,连接 .
①求四边形 的面积;
②直线 上有一动点 ,求 周长的最小值.
(2)如图3,延长 交 于点 ,过点 作 ,过 边上的动点 作 ,并与 交于点 ,将 沿直线 翻折,使点 的对应点 恰好落在直线 上,求线段 的长.
如图,正方形 中, , 是 边的中点,点 是正方形内一动点, ,连接 ,将线段 绕点 逆时针旋转 得 ,连接 , .
(1)求证: ;
(2)若 , , 三点共线,连接 ,求线段 的长.
(3)求线段 长的最小值.
(1)如图①,在四边形 中, ,点 是 的中点,若 是 的平分线,试判断 , , 之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长 交 的延长线于点 ,易证 得到 ,从而把 , , 转化在一个三角形中即可判断.
, , 之间的等量关系 ;
(2)问题探究:如图②,在四边形 中, , 与 的延长线交于点 ,点 是 的中点,若 是 的平分线,试探究 , , 之间的等量关系,并证明你的结论.
如图, 是 的中线, 是线段 上一点(不与点 重合). 交 于点 , ,连接 .
(1)如图1,当点 与 重合时,求证:四边形 是平行四边形;
(2)如图2,当点 不与 重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长 交 于点 ,若 ,且 .
①求 的度数;
②当 , 时,求 的长.
(1)如图1,将矩形 折叠,使 落在对角线 上,折痕为 ,点 落在点 处,若 ,则 的度数为 .
(2)小明手中有一张矩形纸片 , , .
【画一画】
如图2,点 在这张矩形纸片的边 上,将纸片折叠,使 落在 所在直线上,折痕设为 (点 , 分别在边 , 上),利用直尺和圆规画出折痕 (不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);
【算一算】
如图3,点 在这张矩形纸片的边 上,将纸片折叠,使 落在射线 上,折痕为 ,点 , 分别落在点 , 处,若 ,求 的长;
【验一验】
如图4,点 在这张矩形纸片的边 上, ,将纸片折叠,使 落在 所在直线上,折痕为 ,点 , 分别落在点 , 处,小明认为 所在直线恰好经过点 ,他的判断是否正确,请说明理由.
如图1,2,3分别以 的 和 为边向 外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形, 和 相交于点 .
(1)在图1中,求证: .
(2)由(1)证得 ,由此可推得在图1中 ,请你探索在图2中, 的度数,并说明理由或写出证明过程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中 (填写度数).
(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以 的 和 为边向 外作正 边形, 和 仍相交于点 ,猜想得 的度数为 (用含 的式子表示).
如图,四边形 是边长为6的正方形,点 在边 上, ,过点 作 ,分别交 , 于 , 两点.若 , 分别是 , 的中点,则 的长为
A.3B. C. D.4
已知正方形 的对角线 , 相交于点 .
(1)如图1, , 分别是 , 上的点, 与 的延长线相交于点 .若 ,求证: ;
(2)如图2, 是 上的点,过点 作 ,交线段 于点 ,连接 交 于点 ,交 于点 .若 ,
①求证: ;
②当 时,求 的长.
问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将:矩形纸片 沿对角线 剪开,得到 和 .并且量得 , .
操作发现:
(1)将图1中的 以点 为旋转中心,按逆时针方向旋转 ,使 ,得到如图2所示的△ ,过点 作 的平行线,与 的延长线交于点 ,则四边形 的形状是 .
(2)创新小组将图1中的 以点 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 、 、 三点在同一条直线上,得到如图3所示的△ ,连接 ,取 的中点 ,连接 并延长至点 ,使 ,连接 、 ,得到四边形 ,发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将 沿着 方向平移,使点 与点 重合,此时 点平移至 点, 与 相交于点 ,如图4所示,连接 ,试求 的值.