请完成如下探究系列的有关问题：探究1：如图1，ΔABC是等腰

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1， $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 为 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，以 $AD$ 为边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$ ，连接 $CF$ ，则线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系为　　，数量关系为　　．

探究2：如图2，当点 $D$ 运动到线段 $BC$ 的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）

探究3：如图3，如果 $AB \neq AC$ ， $∠ BAC \neq 90 °$ ， $∠ BCA$ 仍然保留为 $45 °$ ，点 $D$ 在线段 $BC$ 上运动，请你判断线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系，并说明理由．

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近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：

（1）求该数据中每天代寄包裹数在 $50.5 ~ 200.5$ 范围内的天数；

（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．

①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？

②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：

重量 $G$ （单位：千克）	$2 < G ⩽ 3$	$3 < G ⩽ 4$	$4 < G ⩽ 5$
件数（单位：件）	15	10	15

求这40件包裹收取费用的平均数．

题型：未知
难度：未知

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某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别在 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上，斜坡 $AB$ 的长为18米，过点 $B$ 作 $BC ⊥ l_{1}$ 于点 $C$ ，且线段 $AC$ 的长为 $2 \sqrt{6}$ 米．

（1）求该斜坡的坡高 $BC$ ；（结果用最简根式表示）

（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 $α$ 为 $60 °$ ，过点 $M$ 作 $MN ⊥ l_{1}$ 于点 $N$ ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

题型：未知
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先化简，再求值： $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{y}{x + y} - 1$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = 2$ ．

题型：未知
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计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + | - 1 | - \sqrt{3} \tan 60 °$ ．

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如图，半径为4的 $⊙ O$ 中，弦 $AB$ 的长度为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 是劣弧 $\hat{AB}$ 上的一个动点，点 $D$ 是弦 $AC$ 的中点，点 $E$ 是弦 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 、 $OD$ 、 $OE$ ．

（1）求 $∠ AOB$ 的度数；

（2）当点 $C$ 沿着劣弧 $\hat{AB}$ 从点 $A$ 开始，逆时针运动到点 $B$ 时，求 $ΔODE$ 的外心 $P$ 所经过的路径的长度；

（3）分别记 $ΔODE$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $S_{1}^{2} - S_{2}^{2} = 21$ 时，求弦 $AC$ 的长度．

题型：未知
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