初中数学矩形的性质解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图所示，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在线段 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{EF}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{BF}=2$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{BFED}$ 是平行四边形；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABD}=\frac{2}{3}$ ，求线段 $\mathit{BG}$ 的长度．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝4，将矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转α角，得到矩形 A' B' C' D'， B' C与 AD交于点 E， AD的延长线与 A' D'交于点 F．

（1）如图①，当α＝60°时，连接 DD'，求 DD'和 A' F的长；

（2）如图②，当矩形 A' B' CD'的顶点 A'落在 CD的延长线上时，求 EF的长；

（3）如图③，当 AE＝ EF时，连接 AC， CF，求 AC• CF的值．

如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若 $\mathit{AP}=\sqrt{2}$，求CF的长．

如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的面积．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}=\mathit{AB}$；

（2）若 $\angle \mathit{FDC}=30°$，且 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{AD}$．

有一块形状如图的五边形余料，，，，，，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

如图，在边长为1的正方形组成的方格中，点，都在格点上．

（1）在给定的方格中将线段平移到，使得四边形是矩形，且点，都落在格点上．画出四边形，并叙述线段的平移过程；

（2）在方格中画出关于直线对称的；

（3）直接写出与的交点到线段的距离．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $E$在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边向右上方作正方形 $\mathit{CEFG}$，作 $\mathit{FH}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{FH}=\mathit{ED}$；

（2）当 $\mathit{AE}$为何值时， $\mathit{\Delta AEF}$的面积最大？

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$． $M$、 $N$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}$， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta CDN}$；

（2）点 $G$是对角线 $\mathit{AC}$上的点， $\angle \mathit{EGF}=90°$，求 $\mathit{AG}$的长．

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点， $\frac{\mathit{EH}}{\mathit{EG}}=3$，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证： $\frac{\mathit{EC}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{EH}}{\mathit{BH}}$；

（2）若∠CGF＝90°，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．

（1）求线段的长；

（2）若点为边的中点，连接，求证：．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．