如图①，在中，
，
，
，点
从点
出发，沿折线
向终点
运动，在
上以每秒5个单位长度的速度运动，在
上以每秒3个单位长度的速度运动，点
从点
出发，沿
方向以每秒
个单位长度的速度运动，
，
两点同时出发，当点
停止时，点
也随之停止．设点
运动的时间为
秒．
（1）求线段的长；（用含
的代数式表示）
（2）连结，当
与
的一边平行时，求
的值；
（3）如图②，过点作
于点
，以
，
为邻边作矩形
，点
为
的中点，连结
．设矩形
与
重叠部分图形的面积为
．①当点
在线段
上运动时，求
与
之间的函数关系式；②直接写出
将矩形
分成两部分的面积比为
时
的值．
数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：，
．
易知，，
，
．
可得．
如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形， 是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个 角，使点 或点 是这个角的顶点，且 为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段 的垂直平分线．
（年云南省昆明市）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
（年贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
（年云南省）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
（年新疆乌鲁木齐市）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=
，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．
用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形，请你试一试，把拼成的四边形分别画在图3、图4的虚框内。
如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边 上画点 ，使 ，再过点 画直线 ，使 平分矩形 的面积；
（2）在图（2）中，先画
的高
，再在边
上画点
，使
．
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